Œзбекистон республикаси олий ва œрта

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI QO‘QON DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI

60110600-matematika-informatika (sirtqi) ta’lim yo‘nalishi 01/21-guruh talabasi

AZAMATOVA OYLOLA SARDORXO‘JA QIZINING
“Integrallashning asosiy metodlari” mavzusidagi “Matematik analiz” fanidan yozgan
KURS ISHI
Ilmiy rahbar: M.Yakubjonova
Matematika kafedrasi o‘qituvchisi

QO‘QON-2023

Reja:
KIRISH… 3
ASOSIY QISM 6

1. 
   §.O‘zgaruvchining almashtirib integrallash usuli 6
   
2. 
   §. O‘rniga qo‘yish usuli 9
   
3. 
   §. Bo‘laklab integrallash usuli 10
   
4. 
   §. Sodda kasrlarni integrallash 14
   
5. 
   §. Integrallashga oid misollar 16
   

XULOSA 23
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YHATI 24

KIRISH

Mavzuning dolzarbligi: O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi «Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida»gi PQ-4708-sonli Qaroriga muvofiq mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi. Ta’lim sohasidagi tub o‘zgarishlar hozirgi kunda o‘zining bir qator ijobiy samaralarini bermoqda. Ta’lim jarayoniga yangi pedagogik texnologiyalarini joriy etish asosida uning samaradorligini oshirish eng dolzarb masalalardan hisoblanadi.
Integrallar funksiya turiga, shuningdek, integrallash amalga oshiriladigan sohaga qarab, yanada umumlashtirilishi mumkin. Misol uchun, ikki yoki undan ortiq o‘zgaruvchilarning funksiyalari uchun chiziqli integrali aniqlanadi va integrallash oralig‘i oraliqning ikkita oxirgi nuqtasini bog‘laydigan egri chiziqning formula ko‘rinishi bilan almashtiriladi. Sirt integrallarida esa egri chiziq uch o‘lchamli fazoda sirtning bir qismi bilan almashtirilib hisoblab topiladi. Integrallarni hisoblashga qodir bo‘lgan birinchi hujjatlashtirilgan texnika bu qadimgi yunon astronomi Yevdoksning ( taxminan miloddan avvalgi 370- yil) charchash usuli bo‘lib, u maydonlar va hajmlarni cheksiz ko‘p bo‘linishlarga bo‘lish orqali topishga harakat qilgani ma'lum. Bu usul miloddan avvalgi  asrda Arximed tomonidan yanada kengroq o‘rganib ishlab chiqilgan va qo‘llanilgan bo‘lib, aylananing maydonini, sharning sirtini va hajmini, ellipsning maydonini, parabolaning ostki qismidagi maydonni, segmentning hajmini hisoblashda foydalanilgan. Ya'ni bu davrda integrallar inqilobi yuzaga kelgan desak, adashmaymiz. Bundan tashqari, shunga o‘xshash usul Xitoyda eramizning  asrida Lyu Xuy tomonidan ishlab chiqilgan bo‘lib, u aylana maydonini topishda foydalangan. Bu usul keyinchalik V asrda xitoylik ota- bola matematiklar Zu- Chongji va Zu Geng tomonidan sharning hajmini topishda qo‘llanilgan. Yaqin Sharqda esa Lotin mamlakatlarida Alhazen nomi bilan tanilgan inson ( taxminan 965 milodiy 1040 y.) hasan Ibn al- haysam to‘rtinchi darajalar yig‘indisi formulasini ishlab chiqdi. U bu natijalardan endi funksiya integrali deb ataladigan tushunchani hisoblash ( yaratish) uchun foydalandi, uning bu usulida integral kvadratlar va
to‘rtinchi darajalar yig‘indisi formulalari yordamida paraboloid hajmini hisoblash imkonini qo‘lga kiritdi. Integral hisobdagi keyingi muhim yutuqlar Х۷ asrlargachа paydo bo‘la boshladi.
Integrallar ko‘pgina amaliy vaziyatlarda yuzaga keladi. Masalan, tubi tekis bo‘lgan to‘rtburchaklar shaklidagi suzish havzasining uzunligi, eni va chuqurligidan undagi suv hajmini, sirtining maydonini va atrofining uzunligini aniqlash mumkin. Ammo agar u yumaloq tubi bilan oval bo‘lsa, bu miqdorlar uchun aniq va qat'iy qiymatlarni topish uchun integrallar talab qilinadi. Har bir holatda, qidirilayotgan miqdorni cheksiz ko‘p cheksiz kichik bo‘lakchalarga bo‘lish mumkin, so‘ngra aniq yaqinlashishga erishish uchun bo‘laklarni yig‘ish orqali natijaga erishish mumkin.
Integral belgisini rasmiy belgilashning ko‘pgina usullari mavjud, ularning hammasi ham bir xil yoki ekvivalent emas. Farqlar, asosan, boshqa ta'riflar ostida birlashtirilishi mumkin bo‘lmagan, balki ba'zan pedagogik sabablarga ko‘ra turli xil maxsus holatlar bilan shug‘ullanish uchungina mavjud. Eng ko‘p qo‘llaniladigan ta'riflar Riman va Lebeg integrallaridir.
Riman integrali. Riman-Darbu va Lebeg integrali. Integral ostidagi chegaraga o‘tish ko‘pincha nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham qiziqish uyg‘otadi.
Masalan, ko‘pincha tegishli ma'noda muammoning yechimiga yaqin bo‘lgan funksiyalar ketma-ketligi tuzilishi mumkin. U holda yechim funksiyasining integrali yaqinlashishlar integrallarining limiti bo‘lishi kerak. Biroq, chegara sifatida olinishi mumkin bo‘lgan ko‘plab funksiyalar - limit teoremalari Riman integrali bilan bajarilmaydi. Shu sababli, integralning kengroq sinfini integrallash imkonini beruvchi ta'rifga ega bo‘lish katta ahamiyatga ega.Bunday integral Lebeg integralidir, u integrallanuvchi funksiyalar sinfini kengaytirish uchun quyidagi faktdan foydalanadi: agar funksiya qiymatlari soha bo‘yicha qayta tartiblangan bo‘lsa, funksiyaning integrali bir xil bo‘lib qolishi kerak. Shunday qilib, Anri Lebeg o‘z nomi bilan atalgan integralni kiritdi va bu integralni Pol Montelga yozgan maktubida shunday tushuntiradi: Men cho‘ntagimga yig‘ib olgan ma'lum summani to‘lashim kerak. Men cho‘ntagimdan pul va tangalarni olib, jami
summaga yetgunimcha topilgan tartibda kreditorga beraman. Bu Riman integrali. Lekin men boshqacha davom etishim mumkin. Men cho‘ntagimdagi barcha pullarni olib tashlaganimdan so‘ng, men bir xil qiymatdagi pul va tangalarga buyurtma beraman, keyin esa bir qancha pul va tangalarimni birin-ketin kreditorga
to‘layman. Bu mening integralim. Shunday qilib, Lebeg integralining ta'rifi m

o‘lchov bilan boshlanadi. Eng oddiy holatda,
A  a, b
oraliqning
ma
Lebeg

o‘lchovi, uning kengligi
b  a
bo‘ladi, shuning uchun ikkalasi ham mavjud

bo‘lganda Lebeg integrali (to‘g‘ri) Riman integraliga mos keladi. Murakkab holatlarda qaralayotgan to‘plamlar uzluksiz va intervallarga o‘xshash bo‘lmagan holda bo‘laklarga bo‘linishi mumkin.Boshqa integrallar. Riman va Lebeg integrallari integralning eng ko‘p qo‘llaniladigan ta'riflari bo‘lsada, bir qator boshqa ta'riflar ham mavjud. Jumladan, bunga Darbu integrali misol bo‘ladi.Darbu integrali. Darbu yig‘indisi ( Riman yig‘indisining bir qismi) bilan aniqlangan, lekin Riman integraliga ekvivalent bo‘ladi, ya'ni funksiya Riman integrallanishi mumkin bo‘lgan taqdirdagina Darbu integrallanishi mumkin. Darbu integrallari Riman integrallariga qaraganda osonroq aniqlanish afzalliklarga ega.