Œзбекистон республикаси олий ва œрта

Tatqiqot obyekti va predmeti. Integrallash jarayoni, integrallar usullari va xossalari.
Kurs ishining maqsadi va vazifalari. Integrallashning o‘zgaruvchining almashtirish,o‘rniga qo‘yish, bo‘laklab integrallash usullari, sodda kasrlarni integrallash va Integrallashga oid misollarni tahlil qilish

1-§.O‘zgaruvchining almashtirib integrallash usuli

Faraz qilaylik,
f (x) funksiyaning aniqmas integrali
_ f (x)dx
(1)

berilgan bo`lib,uni hisoblash talab etilsin.
Ko`pincha, o`zgaruvchi x ni ma`lum qoidaga ko`ra boshqa o`zgaruvchiga almashtirish natijasida berilgan integral sodda integralga keladi va uni hisoblash oson bo`ladi.
Aytaylik, (1) integraldagi o`zgaruvchi x yangi o`zgaruvchi t bilan ushbu
t  (x)
munosabatda bo`lib, quyidagi shartlar bajarilsin:

1)  (x)
funksiya differentsiallanuvchi bo`lsin;

2. 
   g(t)
   

funksiya boshlang`ich funksiya
G(t) ga ega, ya`ni

G^(t)  g(t),
_ g(t)dt  G(t)  C;
(2)

2. 
   f (x) funksiya quyidagicha
   

f (x)  g((x)) ^((x)
ifodalansin.
U holda
(3)

_ f (x)dx  _ gx^xdx G( (x))  C
bo`ladi.
◄Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoida-sidan foydalanib, (2) va (3) munosabatlarni e`tiborga olib topamiz:

G((x))  C^  G^((x)) ^(x)  g((x)) ^(x) 
f (x).

Bundan
_ f (x)dx  G((x))  C
bo`lishi kelib chiqadi. ►

Shu yo`l bilan (1) integralni hisoblash o`zgaruvchini almashtirib integrallash usuli deyiladi.
Bu usulda, o`zgaruvchini juda ko`p munosabat bilan almashtirish imkoniyati bo`lgan holda ular orasidan qaralayotgan integralni sodda, hisoblash uchun qulay holga keltiradiganini tanlab olish muhimdir.

1. 
   misol. Ushbu
   

integral hisoblansin.


_sin 5xdx

◄Bu integralni o`zgaruvchisini almashtirib hisoblaymiz:

_ sin 5xdx 
5x  t
^{ 1} _ ^{sin tdt   1 cos t  C   1 cos 5x  C.} ►

2. 
   misol. Ushbu
   

integral hisoblansin.

5dx  dt
5 5 5


_{J } dx
_ex _{ e}x

◄Avvalo berilgan integralni quyidagicha




dx _
ex _{ e} x
e^x dx e^2x  1

yozib olamiz. Bu integralni o`zgaruvchini almashtirish usuli-dan foydalanib hisoblaymiz:

J  _
e^x dx _
e^2x  1
e^x  t e^x dx  dt
_ dt


1  t ²
 arctgt  C  arctge^x  C ^►

3. 
   misol. Ushbu
   

integral hisoblansin.

◄ Ravshanki,


_{J } dx


cos x

Unda
1

cos x

_ cos x
cos² x
_ cos x _. 1  sin ² x

_ dx _ cos xdx _
sin x  t
_{ } dt

bo`lib,
^{cos x} 1  sin ² x
cos xdx  dt
1  t ²

bo`lganligi sababli

1 _ 1
1  t ^{2 (1  t)(1  t)}
1 ^ 1




2 ^(1  t)
1 ^




(1  t) ^

_{J } 1 _( dt _{ } dt _{) } 1 _( d(1  t) _{ } d(1  t)_{) } 1 _ln 1  t _{ C}

bo`ladi.
Agar

2 (1  t) (1  t) 2 (1  t) (1  t) 2 1  t

1  t _ 1  sin x _{ tg(} x _  ₎
1  t 1  sin x 2 2
bo`lishini e`tiborga olsak, unda
_ ^dx  ln tg( ^x  ^ )  C

ekanini topamiz. ►

4. 
   misol. Ushbu
   

cos x 2 2

_{J  } dx

(a  0, a  R)

integral hisoblansin.

◄Integralda o`zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz:

Unda
x   t .

dt  d (x 


x ²  a )  (1 
^x )dx 



bo`lib, undan

bo`lishi kelib chiqadi.

Natijada
t

dx 
dx
x ²  a


dx _ dt t


J  ^dt  ln t t

• 
  C  ln x   C
  

(4)

bo`lishini topamiz.►

2-§. O‘rniga qo‘yish usuli

Jadvalga kirmagan
_ ^f  ^x ^dx
integralni hisoblash kerak bo‘lsin. ni erkli

o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi
^{x  } ^t 
funksiyasi orqali ifodalab,

^{integrallashning yangi o‘zgaruvchisini kiritamiz. Bu funksiyaga teskari t  }  ^x

funktsiya mavjud bo‘lsin. U holda
^{dx  d} ^t  ^{ '} ^t  ^dt
bo‘lib,

_ f _ x_ dx  _ f _ _t _^' _t _dt
formula hosil bo‘ladi.
Bu o‘rniga qo‘yish usuli deyiladi.

• 
  Diffеrеnsial belgisi ostiga kiritish usuli. Bu usul aniqmas integralning ushbu invariantlik xossasi orqali amalga oshiriladi:
  

_ f (x)dx  F (x)  C _
f (u)du  F (u)  C.
(2)

Bu tenglik differensialning invariantlik xossasidan [VII bob,§4, (5)] kelib chiqadi va unda u=u(x) ixtiyoriy diffеrеntsiallanuvchi funksiyani ifodalaydi. Shunday qilib, integrallash o‘zgaruvchisi x biror diffеrеntsiallanuvchi u=u(x)

funksiya bilan almashtirilsa, integral javobida ham x o‘rniga u=u(x) funksiya qo‘yiladi.
Ko‘p hollarda bu usulni qo‘llash uchun dastlab integral ostidagi funksiyaning bir qismi differensial ostiga kiritiladi va integral kerakli ko‘rinishga keltiriladi. Misol sifatida quyidagi integrallarni hisoblaymiz.

• 
  
  2
  _ln xd ln x  (u  ln x)  _ udu  ^u
  

2

• 
  C 
  

ln² x


C .
2

• 
  _ (х  4)⁹⁹dx  _ (x  4)⁹⁹ d(x  4)  (u  x  4) 
  

 _u⁹⁹ du 
_u100

100

• 
  C 
  

(x  4)¹⁰⁰ 100

• 
  C ^.
  

Bu yerda dx=d(x+4) ekanligidan foydalandik.

• 
  _ tgxdx  _ ^{sin xdx}  _ ^{ d cos x}  (u  cos x) 
  

cos x cos x

 _ ^du   ln u
u

• 
  C   ln cos x  C .
  

Bu asosiy integrallar jadvalidagi 13-integral javobining isbotini ifodalaydi.

3-§. Bo‘laklab integrallash usuli

Bo‘laklab integrallash formulasi ikki funksiya ko‘paytmasini differensiallash

formulasidan kelib chiqadi.
^u  ^x ^{va v}  ^x
differentsiallanuvchi funktsiyalar.Ikki

funktsiya ko‘paytmasining differentsiali:
^d ^uv ^{ vdu  udv}

ga teng.

Bundan


_^{udv  uv } _^{vdu .}¹

ni hisil qilamiz.

(1) formula bo‘laklab intgrallash formulasi deyiladi.
Bu formula odatda integral ostidagi funksiya turli sinfdagi darajali va ko‘rsatkichli, darajali va trigonometrik, trigonometrik va ko‘rsatkichli va hokazo., funksiyalarning ko‘paytmasi shaklida ifodalangandagina qo‘llaniladi. Bunda

integrallashning ikki turini ajratib, ular uchun qaysi funktsiyani deb va qaysi ifodani deb qabul qilish kerakligini ko‘rsatish mumkin.

Birinchi turga
^Pn  ^x
ko‘phadning ko‘rsatkichli yoki trigonometrik funksiyaga

ko‘paytmasini o‘z ichiga olgan integrallar kiradi. Bu yerda orqali ^{ko‘phad belgilanadi, qolgan hamma ifoda esa} dv ^{orqali belgilanadi.
Pn}  ^x

Ikkinchi turga
^Pn  ^x
ko‘phadning logarifmik yoki teskari trigonometrik

^{funksiyaga ko‘paytmasi qatnashgan integrallar kiradi. Bu holda} dv ^bilan ifoda belgilanadi, qolgan hamma funktsiya esa bilan belgilanadi.
Bu formula takroran bir necha marta qo‘llanishi mumkin.
^Pn  ^x ^dx