§. eseli integrallar



Yüklə 300 Kb.
Pdf görüntüsü
səhifə1/5
tarix22.06.2020
ölçüsü300 Kb.
  1   2   3   4   5

 

296

17-§. ESELI INTEGRALLAR 

 

17.1. Eki eseli integral. Eseli integrallardı esaplaw  

 

Funkciyanıń integral hám Darbu qosındıları. Meyli tekislikte maydanǵa iye 

bolǵan 


D

 figura (kóplik) berilgen bolsın. Bul kóplikte 

)

,

y



x

f

 funkciya anıqlanǵan 

hám shegaralanǵan. 

D

 nıń bazı bir  



n



D

D

D

P

...


,

2

1



 

бœлакланиши hám hár bir 



k

D

 da qálegen 



k

k

k

D

)



,

(



  noqatın 

)

,....


2

,

1



(

n

k

 alıp 



tómendegi  





n



k

k

k

k

D

f

1

,





 

qosındını dúzemiz.  



1-anıqlama

.

 







n



k

k

k

k

D

f

1

,







 

qosındı 


)

,

y



x

f

 funkciyanıń integral 

qosındısı (Riman qosındısı) delinedi.  

Keltirilgen anıqlamadan integral qosındı 

)

,

y



x

f

 funkciyaǵa, 



D

 kóplik hám 

onı bólekleniwge usılına hám hár bir 

k

k

k

D

)



,

(



 noqatlarǵa baylanıslı boladı: 



.



,

k

k

p

f





 

Meyli 


)

,

y



x

f

  funkciya 

D

 da  shegaralanǵan ekan, ol hár bir 



k

D

 da 


)

,...,


2

,

1



(

n

k

 shegaralanǵan boladı.  Demek, 





k



k

D

y

x

y

x

f

m



)

,

(



:

)

,



(

inf


,  



k

k

D

y

x

y

x

f

M



)

,

(



:

)

,



(

sup


 

bar boladı. 



k

D

y

x



)

,

(



 ushın  

k

k

M

y

x

f

m



)

,

(



                                         (1) 

teńsizlikler orınlı boladı.  



2-anıqlama. 

Qosındılar  





n

k

k

k

D

m

s

1







n

k

k

k

D

M

S

1



 

sáykes túrde Darbunıń tómengi hám joqarı qosındıları delinedi. 



 

297

Funkciyanıń Darbu qosındıları 

)

,

y



x

f

 funkciyaǵa, 



D

 kóplik hám onıń 

bólekleniwge baylanıslı 

)

f



s

s

p



)

f



S

S

p

  bolıp, hár dayım 



S

s

  teńsizlik 



orınlı boladı.  (1) teńsizlikten paydalanıp   









n



k

k

k

n

k

k

k

k

n

k

k

k

D

M

D

f

D

m

1

1



1

,





. 

Demek,  

S

s





3-anıqlama.

 Eger 

0



 san alǵanda hám sonday 



0



 san tabılıp, 

D

 nıń 


diametri 





p

 bolǵan hár qanday 



P

 bólekleniwge, hám hár bir 



k

D

  da alınǵan 

qálegen 

)

,



(

k

k



 lar ushın  



 J

 

teńsizlik orınlı bolsa, onda 



J

 san 


 qosındınıń 

0



p



 daǵı limiti delinedi hám  



J

p



0



lim

 

arqalı belginedi.  



4-anıqlama. 

 Eger 


0



p

 да 


)

,

y



x

f

 funkciyanıń integral qosındısı limiti 

bar boladı hám shekli 

J

 ǵa teń bolsa, onda 

)

,

y



x

f

 funkciya 



D

 da integrallanıwshı 

delinedi. 

J

 sanı bolsa, onda 

)

,

(



y

x

f

 funkciyanıń 



D

 boyınsha eki eseli integralı 

delinedi. Onı tómendegishe  



D



dxdy

y

x

f

)

,



(

 

belginedi. Demek, 











n

k

k

k

k

D

D

f

dxdy

y

x

f

p

p

1

0



0

)

,



(

lim


lim

)

,



(





Meyli maydanǵa iye bolǵan   kóplikte 



)

,

y



x

f

 funkciya berilgen hám 

shegaralanǵan bolsın.  

1-teorema

. )


,

y



x

f

 funkciya 



D

 kóplikда integrallanıwshı bolıwı ushın, 

0





 san alǵanda hám, sonday 

0





 sanı tabılıp, 

D

 nıń diametri 





p

 bolǵan 


hár qanday   bólekleniwge  qarata Darbu qosındıları   

 

298



)

(



)

(

f



s

f

S

p

p

    


 

 

 



(2) 

teńsizliktiń orınlanıwı  zárúrli hám jetkilikli.  



Eki eseli integraldıń qáseytleri.

  

1) Meyli 



)

,

y



x

f

 funkciya   kóplikte integrallanıwshı bolsın. Eger 



D

 nol 


maydanlı   sızıq penen ulıwma ishki noqatǵa iye bolmaǵan baylamlı

1

D

 hám 

2

D



 

kópliklerge ajralǵan bolsa, onda 

)

,

y



x

f

 funkciya hár bir 

1

D

 hám 


2

D

 larǵa 


integrallanıwshı hám  











1

2

1



)

,

(



)

,

(



)

,

(



D

D

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

 

 



  (2) 

boladı. Keriside orınlı, yaǵniy )

,

y



x

f

 funkciyanıń hár bir 

1

D

 hám 


2

D

 kópliklerde 

integrallanıwshı bolsa, onda 

D

 da integrallanıwshı bolıp (2) teńlik orınlı boladı.  

2) Eger 

)

,



y

x

f

 funkciya 



D

 da integrallanıwshı bolsa, onda 

)

,

y



x

cf

 

funkciya )



(

const

c

 hám 



D

 da integrallanıwshı hám  







D

D

dxdy

y

x

f

c

dxdy

y

x

cf

)

,



(

)

,



(

 

boladı.  



3) Eger 

)

,



y

x

f

 hám 


)

,

y



x

g

 funkciyalar 



D

 integrallanıwshı bolsa, onda 

)

,

(



)

,

(



y

x

g

y

x

f

 funkciya hám 



D

 integrallanıwshı hám 











D

D

D

dxdy

y

x

g

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

g

y

x

f

)

,



(

)

,



(

)]

,



(

)

,



(

[

 



boladı.  

4) Eger 


)

,

y



x

f

 funkciya 



D

 integrallanıwshı bolıp 

 

D

y

x

 ,



 

да

0



)

,

(





y

x

f

 bolsa, onda 

0

)

,



(





D

dxdy

y

x

f

 

boladı. 



5) Eger 

)

,



y

x

f

 hám 


)

,

y



x

g

 funkciyalar 



D

 da integrallanıwshı bolıp, 

 

D

y

x

 ,



 ushın )

,

(



)

,

(



y

x

g

y

x

f

 bolsa, onda 









D

D

dxdy

y

x

g

dxdy

y

x

f

)

,



(

)

,



(

 

 



 

299

boladı. 


6) Eger 

)

,



y

x

f

 funkciya   integrallanıwshı bolsa, onda 

)

,

y



x

f

 funkciya 

hám 

D

 da integrallanıwshı hám  







D

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

)

,



(

)

,



(

  

boladı. 



Orta mánis haqqında teoremalar.

 Meyli 


)

,

y



x

f

 funkciya maydanǵa iye 

bolǵan   kóplikte berilgen hám shegaralanǵan bolsın.  

3-teorema.

 Eger 


)

,

y



x

f

 funkciya 



D

 integrallanıwshı bolsa, onda 

 san 


)

(

M



m



 tabılıp,  





D



D

dxdy

y

x

f



)



,

(

 



boladı.  

◄ 

Joqarıда keltirilgen eki eseli integraldıń qáseytlerinen paydalanıp   



D



dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

D

M

y

x

f

m

D

D















)

,

(



)

,

(



1

,

 



 

)

(



M

m



. ► 


Saldar.

 Eger 


)

,

y



x

f

 funkciya baylamlı tuyıq 



D

 kóplikte úzliksiz bolsa, 

onda sonday 

D

)



,

(



 noqat tabılıp,  



D

f

dxdy

y

x

f

D



)

,



(

)

,



(





 

boladı.  



4-teorema.

 Eger 


)

,

y



x

f

 hám 


)

,

y



x

g

 funkciyalar 



D

 kóplikte 

integrallanıwshı bolıp, 

 


D

y

x

 ,



 ushın 0

)

,



(



y



x

g

 (yamasa 

0

)

,



(



y



x

g

) bolsa, 

onda 



 san 



)

(

M



m



 tabılıp,  







D

D

dxdy

y

x

g

dxdy

y

x

g

y

x

f

)

,



(

)

,



(

)

,



(

 



boladı.  

 

 

 

300

Eki eseli integrallardı esaplaw 

Meyli )


,

y



x

f

 funkciya tekislikte 

:

)



,

(

2



R

y

x

D



 



d



y

c

b

x

a



,



 

kóplikte berilgen bolsın. Bul 

)

,

y



x

f

 funkciyanıń   boyınsha eki eseli integraldı 

esaplaw máselesin qaraymız. 

1-teorema

. )


,

y



x

f

 funkciya tómendegi shártleri orınlı bolsın 

1) )

,

y



x

f

 funkciya 



D

  integrallanıwshı,  

2) Hár bir 

]

,



b

a

x

da  





b



a

dy

y

x

f

x

J

)

,



(

)

(



 

integral bar boladı. Onda 

)

(x



J

 funkciya 

]

,

b



a

 integrallanıwshı, yaǵniy  

 





b

a

d

c

b

a

]dx

f(x,y)dy

dx

x

J

[

)



(

 

bar boladı hám  



 





b

a

d

c

D

dx

dy

y

x

f

dxdy

y

x

f

]

)



,

(

[



)

,

(



 

boladı. 


2-teorema

. )


,

y



x

f

 funkciya tómendegi shártler orınlı bolsın 

1) )

,

y



x

f

 funkciya   integrallanıwshı,  

2) hár bir 

]

,



d

c

y

   





b



a

dx

y

x

f

y

J

)

,



(

)

(



 

integral bar boladı. Onda 

)

y



J

 funkciya 

]

,

d



c

 да integrallanıwshı, yaǵniy  

 





d

c

b

a

d

с

dy

dx

y

x

f

dy

y

J

]

)



,

(

[



)

(

 



bar boladı hám  

 






d



c

b

a

D

dy

dx

y

x

f

dxdy

y

x

f

]

)



,

(

[



)

,

(



 

boladı.  



Yüklə 300 Kb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2020
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə