1. avtonom sistemalar

1. AVTONOM SISTEMALAR
1-ta’rif. Agar oddiy differensial tenglamalar sistemasiga erkli o‘zgaruvchi oshkor ravishda kirmasa, bunga sistema avtonom sistema deyiladi.
Avtonom sistemaning quyidagi
(1)
ko‘rinishiga normal avtonom sistema deyiladi. Bu yerda -noma’lum vektor-funksiya, -berilgan vektor-funksiya.
Agar (1) sistemada erkli o‘zgaruvchi sifatida vaqt tushinilsa, unga dinamik sistema deyiladi.
Bundan keyin (1) differensial tenglamadagi vektor-funksiya biror sohada aniqlangan, uzluksiz, differensiallanuvchi va , hosilalari chergaralangan deb qaraymiz. U holda ga holatlar fazosi deyiladi. (1) sistemaning har bir yechimiga o‘lchamli holatlar fazosida nuqtaning harakati mos keladi. Harakat davomida bu nuqta o‘sha fazoda biror chiziqni (yoki, agar bo‘lsa nuqtani) chizadi. Shu chiziqqa (yoki nuqtaga) nuqtaning harakat trayektoriyasi (yoki holat trayektoriyasi) deyiladi. Ushbu nuqta trayektoriya bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Bunday nuqtaga maxsus nuqta yoki muvozanat nuqta deyiladi.
1-misol. Ushbu

avtonom sistema
(2)
ko‘rinishidagi yechimga ega. Uch o‘lchamli fazoda (2) tenglamalar vint chiziqni ifodalaydi. Holatlar fazosida (bu yerda tekislik) esa aylanalarni ifodalaydi. (maxsus nuqta) nuqta ham trayektoriya bo‘ladi.
Avtonom sistemalarda (yechim) nuqtaning harakati to‘g‘risida to‘liq ma’lumotga ega bo‘lish uchun trayektoriyada ning oshishiga mos harakat yo‘nalishini ham berish lozim (1-chizma).

_1-chizma
Agar sistemaning trayektoriyasi bo‘lsa, u holda bo‘lib, o‘zining har bir nuqtasida u vektorga urinadi. Chunki vektor, parametrik tenglamasi bilan berilgan chiziqqa urinadi va tenglik o‘rinli bo‘ladi. Boshqacha aytganda, to‘plamning nuqtasiga shu nuqtadan chiqarilgan vektorni mos qo‘yamiz. Demak, (1) avtonom sistemaga da aniqlangan vektor maydon mos keladi. bo‘lsin. Mavjudlik va yagonalik teoremasiga ko‘ra, (1) sistemaning boshlag‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud va yagona. Bu yechimga da trayektoriyasi nuqtadan o‘tuvchi nuqtaning harakati mos keladi. Harakat davomida yechimni belgilaydigan nuqtaning momentdagi tezligi vektor bilan ifodalanadi, ya’ni
.
Umuman olganda holatlar fazosini quyidagicha ta’riflash mumkin.
2-ta’rif. (1) avtonom sistemaning holatlar fazosi deb shunday o‘lchamli fazoga aytiladiki, unda shu sistemaning yechimlari trayektoriyalar bilan, sistemaning o‘zi esa vektor maydon bilan tavsiflanadi. Bunda trayektoriyalar holat trayektoriyalari, vektorlar esa holat tezliklari deb ataladi.
1-teorema. Agar vektor-funksiya (1) sistemaning yechimi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas son uchun vektor-funksiya ham (1) sistemaning yechimi bo‘ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra, vektor-funksiya (1) sistemaning yechimi bo‘lgani uchun ayniyat o‘rinli. Bunda ni ga almashtirsak,

hosil bo‘ladi. Bundan
,
kelib chiqadi.■
1-misol. Avtonom bo‘lmagan ushbu

tenglama ko‘rinishdagi yechimga ega. Ammo ko‘rinishdagi funksiya faqat bo‘lganda uning yechimi bo‘ladi. Berilgan tenglamaning va ko‘rinishdagi har xil yechimlarini qaraylik. Ularning trayektoriyalari da joylashgan bo‘lib, mos ravishda va kesmalardan iborat bo‘ladi. Bu trayektoriyalar har xil bo‘lgani bilan ular kesishadi.