1. MÜRƏKKƏb funksiyanin töRƏMƏSİ Teorem Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində

1. MÜRƏKKƏB FUNKSİYANIN TÖRƏMƏSİ
Teorem 1. Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində, funksiyasının isə uyğun nöqtəsində sonlu törəməsi var. Onda mü­rəkkəb funksiyasının da nöqtəsində sonlu törəməsi var və


(14)
düsturu ilə hesablanır.


İsbatı. və funksiyalarının öz arqumentinə nəzərən törə­mələri olduğundan limitlə sonsuz kiçilərlər arasındakı əlaqəyə əsasən


(15)
və
(16)

düsturlarını yaza bilərik. Burada və sonsuz kiçilənlərdir,  ,  .

(16) ifadəsini (15)-də nəzərə alsaq, ol­duğunu alarıq. Bu bərabərliyin hər tərəfini -ə bölüb sadələşdirsək, olduğunu alarıq. Sonsuz kiçilənlərin xassəsinə əsasən sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində yerləşən mötərizə içərisində yerləşən ifadə -da sıfıra yaxınlaşar. Odur ki, bu bərabərlikdə şərtilə limitə keçsək,
və ya
olduğunu alarıq. Teorem 1 isbat olundu.
1. Fərz edək ki, y dəyişəni u dəyişəninin, u dəyişəni isə öz növbəsində x dəyişəninin funksiyasıdır, yəni y = f(u) və u = (x). Göründüyü kimi y dəyişəni aralıq u dəyişəni vasitəsilə x dəyişənindən asılıdır: y = f((x)). Bu halda deyirlər ki, y x-in mürəkkəb funksiyasıdır.
2. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın aralıq dəyişənə nəzərən törəməsi ilə bu aralıq dəyişənin sərbəst dəyişənə nəzərən törəməsinin hasilinə bərabərdir:
yx = yuux
Misal. . y =(35x + x2 ) 100 funksiyasının törəməsini tapın.
Həlli: y = 100(35x + x2 ) 99  (35x +x2 ) = 100(35x+x2 ) 99 (5+2x).
3. Mürəkkəb funksiyanın törəməsini hesablayarkən aşağıdakı düsturlardan istifadə etmək əlverişlidir:

Triqonometrik funksiyaların törəməsi

Logarifmik və üstlü funksiyaların törəməsi



2. ÇOXDƏYİŞƏNLİ FUNKSİYANIN TÖRƏMƏSİ VƏ DİFERENSİALI

Çoxdəyişənli funksiyanın diferensiallanması. Çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələri. Funuksiyanın nöqtədə diferensiallanması. Nöqtədə diferensiallanma üçün xüsusi törəmələrin varlığının zəruriliyi, xüsusi törəmələrin kəsilməzliyinin kafi olması haqqında teorem. Toxunan müstəvi. İkidəyişənli funksiyanın diferensialının həndəsi mənası. Mürəkkəb funksiyanın xüsusi törəmələri düsturu. Mürəkkəb funksiyanın diferensiallanması. İstiqamətə görə törəmə. Qradiyent.

Çoxdəyişənli funksiyanın yüksək tərtibli xüsusi törəmələri. Kəsilməz qarışıq törəmələrin bərabərliyi haqqında Şvarts teoremi. Çoxdəyişənli funksiyalar üçün Laqranj və Peano qalıq hədli Teylor düsturları.

-dən -ə inikaslar, onların diferensiallanması. də vektor fəzalar. -ə xətti inikaslar. -dən -ə inikasın nöqtədə diferensialı (tam törəməsi). Diferensiallanmanın xəttiliyi. Mürəkkəb inikasın diferensiallanması haqqında teorem. Inikasın diferensialının koordinatlarda göstərilişi. Yakobi matrisi. Kəsilməz diferensiallanan inikaslar. Kəsilməz diferensiallanan inikasın lokal tərsinin varlığı və diferensiallanması: törəmənin dönən olduğu nöqtənin ətrafında kəsilməz diferensiallanan inikasın tərsinin varlığı və törəməsi haqqında teorem. Qeyri-aşkar funksiyalar. Qeyri-aşkar funksiyanın varlığı və diferensiallanması haqqında teorem. Ranq haqqında teorem.

Çoxdəyişənli funksiyanın ekstremumu. Ekstremum üçün zəruri şərt, kafi şərtlər. Funksiyanın məhdud oblastda ən kiçik və ən böyük qiymətlərinin tapılması. Şərti (nisbi) ekstremumları. Şərti ekstremumları tapılması üçün Laqranj üsulu.

Çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi artımı onun hər bir arqumentinə nəzərən aldığı artımıdır. f funksiyasının i x arqumentinə nəzərən

nöqtəsinə görə xüsusi artımı
fərqi ilə ifadə olunur. u  f x, y, z funksiyasının x, y, z arqumentlərinə görə xüsusi artımları aşağıdakı kimidir:




ərif. (9) xüsusi artımının x arqument artımına nisbətinin x 0 sərtində sonlu limitinə u funksiyasının X dəyişəninə görə x, y, z nöqtəsindəki xüsusi törəməsi deyilir:

u funksiyasının X arqumentinə görə xüsusi törəməsi həm də ' x u kimi işarə edilir. u funksiyasının x, y, z nöqtəsindəki y və z dəyişənlərinin hər birinə görə xüsusi törəməsi x sərbəst dəyişəninə analoji olaraq təyin edilir:

Tərif. u funksiyasının x ( y və ya z ) arqumentinə nəzərən

xüsusi törəməsi ilə arqumentin dx ( dy və ya dz ) diferensialı hasilinə həmin funksiyanın x ( y və ya z ) arqumentinə nəzərən xüsusi diferensialı deyilir və

simvolu ilə işarə edilir:

Bir çox hallarda xüsusi diferensiallar:

bərabərlikləri kimi ifadə edilir. Bəzi məsələlərin həllində xüsusi törəmələrin nisbət şəklindən istifadə edilir:

Çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəməsinin həndəsi izahı birdəyişənli funksiyalardakı kimidir. Yəni verilən nöqtədə x arqumentinə görə xüsusi törəmə bu nöqtədən əyriyə çəkiliən toxunanın bucaq əmsalına bərabərdir.   . 0 / ux x  tg Burada  bucağı əyriyə nöqtədə şəkilmiş toxunanın absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucaqdır.