1. Uch karrali integralda o‘zgaruvchini almashtirish

22-ma’ruza. Uch oʻlchovli integralda oʻzgaruvchilarni almashtirish. Silindrik va sferik koordinatalarda uch oʻlchovli integral. Uch oʻlchovli integralning tatbiqlari

1. Uch karrali integralda o‘zgaruvchini almashtirish


1.1. Umumiy hol. xyz fazoda T soha, uvw fazoda soha berilgan bo‘lsin (T va lar yopiq sohalar). Bu sohalar orasida
(1)
sistema yordamida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lib,
(2)
sistema unga teskari almashtirish bo‘lib, (1) va (2) dagi barcha funksiyalar birinchi tartibli uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Bu almashtirishda T sohaning chegarasi sohaning chegarasiga o‘tishi va aksincha sohaning chegarasi T sohaning chegarasiga o‘tishi zarur.
Ushbu determinant (1) sistemaning Yakobi determinanti yoki Yakobiani deyiladi:

Bu determinantni hamma vaqt noldan farqli deb qaraymiz.
Yuqoridagi shartlar bajarilganda
(3) tenglik o‘rinli bo‘ladi.
1.2. Silindrik koordinatalar.
Fazoda M(x, y, z) nuqta berilgan bo‘lsin. Oxy tekislikda x,y koordinatalar o‘rniga qutb koordinatalari kiritib, z ni o‘zgartirmay qoldirsak, u holda M nuqtaning silindrik koordinatalariga ega bo‘lamiz:
(16-rasm).

16-rasm.
Bu yerda koordinata sirtlari oilasi quyidagicha bo‘ladi:
1) bo‘lsa, doiraviy silindrlar
2) o‘qi orqali o‘tuvchi barcha yarim tekisliklar
3) tenglikka parallel bo‘lgan tekisliklar.
Bu sistemaning Yakobianini hisoblaylik:
.
(3) formulaga binoan
(4)
tenglikni hosil qilamiz.
1.3. Sferik koordinatalar.
xyz fazodagi M(x,y,z) nuqtani o‘rnini quyidagicha ham aniqlash mumkin. M nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofani r orqali, z o‘qining musbat yo‘nalishi 0M radius vektori orasidagi burchakni orqali belgilaylik. M nuqtani Oxy tekislikdagi proyeksiyasi nuqta bo‘lsin. x o‘qning musbat yo‘nalishi bilan OM₁ kesma orasidagi burchakni orqali belgilaylik:
lar M nuqtaning sferik koordinatalari deyiladi (17-rasm).

17-rasm
Bu yerda . Bundan
Bu yerda koordinata sirtlari oilasi quyidagicha bo‘ladi:
1) sferalar,
2) yarim konuslar , bo‘lsa, z o‘qining manfiy yo‘nalishi bo‘ladi.
3) -Oz o‘qi orqali o‘tuvchi yarim tekislik va yarim tekisliklar.
Yakobianni hisoblaylik.

Bulardan (3) formulaga binoan,
(5)
tenglikni hosil qilamiz.
3-misol. uch karrali integralni hisoblang, bu yerda paraboloid va z=4 tekislik bilan chegaralangan soha (18-rasm).
18-rasm
Yechish. Integralni silindrik koordinaatlarga o‘tib hisoblaymiz. T sohaning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi doiradan iborat. larni yuqoridagi tengliklarga qo‘ysak, u holda paraboloidning teglamasi , ya’ni ko‘rinishni oladi. aylana esa r=2 ko‘rinishni, ifoda esa ko‘rinishni oladi. Topilganlarni hisobga olsak,

4-misol. uch karrali integralni hisoblang, bu yerda sfera va konus bilan chegaralangan soha (konusning ichki qismi) (19-rasm).

19-rasm
Yechish. Sferik koordinatalarga o‘tsak, sfera tenglamasi tenglikka asosan r=2 ko‘rinishda bo‘ladi. konusni tenglamasi, tenglikka asosan ko‘rinishda bo‘ladi. T soha koordinatalari quyidagicha o‘zgaradi: . (5) formulaga binoan quyidagini hosil qilamiz:

2. Uch karrali integralning ba’zi tatbiqlari
2.1. Jism hajmlarini hisoblash.
T sohada aniqlangan funksiya berilgan bo‘lsin. T sohani bo‘lakchalarga bo‘lib integral yig‘indini tuzsak:
.
Agar funksiya o‘zgarmas bo‘lib, bo‘lsa, u holda jismning hajmiga ega bo‘lamiz.
5-misol. sirtlar bilan chegaralangan sohaning hajmini hisoblang (20-rasm).
20-rasm
Yechish.

2.2. Jism massasini hisoblash. T sohaning har bir (x,y,z) nuqtasidagi zichligi bo‘sin. Ikki karrali integraldagi kabi fikr yuritsak, uch karrali integralda jism massasini quyidagi formula yordamida hisoblash kerakligini keltirib chiqarish mumkin.
6-misol. konus, z=0 tekislik va silindr bilan chegaralangan jismning har bir nuqtasidagi zichligi shu nuqtadan Oz o‘qigacha bo‘lgan masofaga teng bo‘lsa, uning massasini toping.
Yechish. Shartga ko‘ra va Silindrik koordinatalarga o‘tsak,
Jism chegaralarining tenglamalari yuqoridan z=r, quyidan z=0, uning Oxy tekislikdagi proyeksiyasining teglamasi r=2 (21-rasm).
21-rasm


Jism Oxy, Oyz tekisliklarga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun