10. Qatorning absolyut va shartli yaqinlashuvchiligi

4—ma’ruza. Ixtiyoriy hadli qatorlar


1⁰. Qatorning absolyut va shartli yaqinlashuvchiligi. Ixtiyoriy hadli

qator berilgan bo’lsin . Bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan quyidagi

qatorni tuzamiz.
6—teorema. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Ushbu teoremaning isboti yuqoridagi 1— teoremadan osongina kelib chiqadi.
4—ta’rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
5—ta’rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lib, qator uzoqlashuvchi bo’lsa , qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.
4—eslatma. qator uzoqlashuvchi bo’lishidan qatorning uzoqlashuvchi bo’lishi har doim chiqavermaydi.
Masalan, 1) Ushbu

(1—m dagi qatorni qarang ). Qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

qator uzoqlashuvchi. Demak, berilgan qator shartli yaqinlashuvchi.
2) Ushbu

qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

qator yaqinlashuvchi. Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi.
Biror ixtiyoriy qator berilgan bo’lsin. Qaralayotgan qator hadlari-ning absolyut qiymatlarini olib, ulardan qatorni tuzamiz. Shu qatorning musbat qatorligini etiborga olib, qaralayotgan qatorning absolyut yaqinlashuvchiligini ifodalash alomatlaridan birini—Dalamber alomatini keltiramiz.
Dalamber alomati. Agar qator uchun

bo’lsa, u holda qator bo’lganda absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
11.11—misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Bu qator uchun quyidagini topamiz:

Demak, da berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi. bo’lganda esa qatorning xarakteri to’g’risida Dalamber alomati biror xulosa bermaydi. Ammo bo’lgan holda da qatorning umumiy hadi nolga intilmaganligi sababli ( uning limiti ga teng ) qator uzoqlashuvchidir. ►
2⁰. Hadlarning ishoralari navbat bilan o’zgarib keladigon qatorlar. Leybnis teoremasi . Biz quyida ixtiyoriy qatorlarning bitta muhim holini qaraymiz.
Ushbu

qatorni qaraylik, bunda .
Odatda bunday qator hadlarining ishoralari navbat bilan o’zgarib keladigan yoki ishorasi almashinuvchi qator deb ataladi.
Quyidagi


qatorlar hadlarining ishoralari navbat bilan o’zgarib keladigan qatorlardir.
7— teorema. ( Leybnis teoremasi ). Agar qatorda

tengsizliklar o’rinli bo’lib,

bo’lsa, qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
◄ Berilgan qatorning ta hadidan iborat ushbu

qismiy yig’indisini olaylik. Ravshanki ,
.
Teoremaning shartiga ko’ra bo’lib, natijada

tengsizlikka kelamiz. Bu esa ketma—ketlikning o’suvchi ekanligini bildiradi.
Endi ni quyidagicha yozamiz:

Ravshanki , ga ko’ra

shuning uchun tengsizlik o’rinli. Demak, ketma—ketlik yuqoridan chegaralangan. Shunday qilib, ketma—ketlik o’suvchi va yuqoridan chega-ralangan. Demak, bu ketma—ketlik chekli limitga ega :
( —chekli son )
Endi qatorning ta toq sondagi hadidan iborat ushbu

qismiy yig’indisini olaylik.
Ravshanki,

Bundan va larga asosan topamiz:
.
Shunday qilib, qatorning qismiy yig’indilaridan iborat ketma–ketlik chekli limitga ega ekanini ko’rsatdik. Demak, qator yaqinlashuvchi. ►
Masalan, yuqorida ko’rsatilgan ushbu

qator uchun teoremaning barcha shartlari bajarilishini ko’rsatish qiyin emas. Leybnis teoremasiga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi.