13-mavzu: Chizqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorlarning xos vektorlari bazis tashkil qilinishining yetarli sharti

13-mavzu: Chizqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorlarning xos vektorlari bazis tashkil qilinishining yetarli sharti.

Aytaylik, matritsa berilgan bo‘lsin. U vaqtda o‘lchovli vektor (ustun-vektor) bo‘lsa, ko‘paytma mavjud bo‘lib, u m o‘lchovli Y vektordan iborat bo‘ladi va

(4.1.4)
chiziqli almashtirishga ega bo‘lamiz. (4.1.4) da A ni chiziqli almashtirish matritsasi deb ataladi. Agar chiziqli almashtirish matritsasi kvadrat matritsadan iborat bo‘lsa, , u vaqtda X va Y lar bir xil n o‘lchovli vektorlardan iborat bo‘lib, ular kollinear bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu vektorlarning kollinear bo‘lib qolgan holi aloxida ahamiyatga ega bo‘lib, bu hol ko‘p masalalarni hal qilishda uchraydi.
Agar A kvadrat matritsaga ega bo‘lgan (4.1.4) chiziqli almashtirish biror noldan farqli X vektorni o‘ziga kollinear bo‘lgan Y vektorga akslantirsa (o‘tkazsa), X vektor A kvadrat matritsaning (chiziqli almashtirishning) xos vektori, Y ning X ga proporsionallik koeffitsiyentidan iborat bo‘lgan son esa uning xos soni deyiladi [4].
Demak, agar X berilgan A kvadrat matritsaning xos vektori bo‘lsa, yuqoridagi ta’rif bo‘yicha
(4.1.5)
tenglik o‘rinli bo‘lib, bu yerda matritsaning xos sonidan iboratdir.
(4.1.5) ni oddiy shakl o‘zgartirishlar yordamida
(4.1.6)
ko‘rinishga keltirish qiyin emas. Bu X ga nisbatan bir jinsli matritsaviy tenglamadir. Agar

deb, - kvadrat matritsa ekanligini hisobga olsak, (4.1.6) dan
(4.1.7)
n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasini olamiz, bu yerda - Kroneker belgisidir. Bu bir jinsli sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi bizga ma’lum (2-bobga qarang):
. (4.1.8)
Bu (4.1.8) ga nisbatan tenglama bo‘lib, undan A matritsaning xos soni aniqlanadi. Umumiy holda, (4.1.8) dan ko‘rinadiki, ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamaga egamiz. Algebraning asosiy teoremasiga ko‘ra bu tenglama n ta kompleks ildizga ega bo‘lib [4], ular oddiy yoki karrali bo‘lishi mumkin.
Demak, (4.1.8) tenglamani yechib, xos sonning qiymati aniqlangach, uni (4.1.7) ga qo‘yish natijasida determinanti nolga teng bo‘lgan bir jinsli sistemani olamiz va uning noldan farqli yechimini topib, A matritsaning xos vektorini aniqlaymiz.
1-misol.

matritsaning xos soni va xos vektori topilsin.
Yechish. (4.1.8) tenglamani yozamiz va uni echamiz:

Demak, A matritsa ikkita haqiqiy xos sonlarga ega. Endi, bu xos sonlarning har biriga mos keladigan xos vektorlarni aniqlaymiz. Buning uchun topilgan xos son qiymatini (4.1.7) ga qo‘yib, undan noldan farqli yechimni aniqlaymiz.
1) =-1 xos son uchun:

Xos vektor:
Agar x₂=1 desak,

xos vektorni olamiz.
2) =7 xos son uchun:

Xos vektor:
Agar x₁=2 desak,

xos vektorni olamiz.
2-misol.

matritsaning xos vektorlari aniqlansin.
Yechish.


Demak, matritsaning xos sonlari mavhum.

1. 
   
   

Xos vektor:

x₁=1 deb olsak,

xos vektor kelib chiqadi.

2. 
   
   

Xos vektor:

x₁=1 deb olsak,

xos vektorni olamiz.
Matritsaning (chiziqli almashtirishning) turli xos sonlariga mos keluvchi xos vektorlarining sistemasi chiziqli erkli bo‘lishi isbotlangandir [4].