5-mavzu uzluksiz tasodifiy miqdorlarning berilish usullari va ularning sonli tasniflari. Boshlangʻich va markaziy momentlar. Taʼrif 1

5-MAVZU
UZLUKSIZ TASODIFIY MIQDORLARNING BERILISH USULLARI VA ULARNING SONLI TASNIFLARI. BOSHLANGʻICH VA MARKAZIY MOMENTLAR.
Taʼrif 1. Qabul qiladigan qiymatlari biror bir oraliqni toʻliq qoplaydigan miqdorga uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi.
Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot funksiyasi yoki zichlik funksiyasi bilan berilishi mumkin.
Taʼrif 2. Har bir x qiymat uchun tasodifiy miqdorning x dan kichik qiymatni qabul qilish ehtimolini aniqlaydigan funksiyaga u.t.m. uchun taqsimotning integral funksiyasi deyiladi, (koʻpincha “integral funksiya” termini oʻrnida “taqsimot funksiya” terminidan foydalaniladi) yaʼni

Taqsimot quyidagicha xossalarga ega:

1. 
   
   
2. 
   uchun , yaʼni taqsimot funksiya kamaymaydigan funksiya.
   
3. 
   Agar u.t.m. boʻlsa, u holda
   
4. 
   P(
   

=

5. 
   Agar tasodifiy miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlari (a,b) oraliqqa tegishli boʻlsa, u holda
   

boʻlganda
boʻlganda

6. 
   Agar tasodifiy miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlari butun x oʻqida joylashgan boʻlsa, u holda
   

Taʼrif 3. U.t.m. uchun ehtimollar taqsimotining differensial funksiyasi yoki zichlik funksiyasi deb, taqsimot funksiyadan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi, yaʼni

Zichlik funksiyaning xossalari:

1. 
   
   
2. 
   , xususan u.t.m. (a,b) oraliqda aniqlangan boʻlsa boladi.
   
3. 
   P(
   
4. 
   
   

Taʼrif 4. Mumkin boʻlgan qiymatlari butun OX oʻqqa tegishli boʻlgan u.t.m. ning matematik kutilishi deb,

integral qiymatiga aytiladi, xususan agar barcha mumkin boʻlgan qiymatlari (a,b) oraliqqa tegishli boʻlsa, u holda

Agar = mumkin boʻlgan qiymatlari butun OX oʻqqa tegishli boʻlgan tasodifiy argumentning funksiyasi boʻlsa, u holda

xususan agar barcha mumkin boʻlgan qiymatlari (a,b) oraliqqa tegishli boʻlsa, u holda

Matematik kutilishning d.t.m. lar uchun koʻrsatilgan barcha xossalari u.t.m. lar uchun ham oʻrinli hisoblanadi.
Taʼrif 5. Mumkin boʻlgan qiymatlari butun OX oʻqqa tegishli boʻlgan u.t.m. ning dispersiyasi deb,

tenglik bilan yoki bu tenglikka teng kuchli boʻlgan

tenglik bilan aniqlanadigan integralga aytiladi.
Xususan, agar barcha mumkin boʻlgan qiymatlar (a,b) oraliqqa tegishli boʻlsa, u holda

yoki

Dispersiyaning d.t.m. lar uchun koʻrsatilgan barcha xossalari u.t.m. lar uchun ham oʻrinli hisoblanadi.
Agar = berilgan tasodifiy argumentning funksiyasi boʻlsa, shu bilan birga mumkin boʻlgan qiymatlar butun OX oʻqqa tegishli boʻlsa, u holda

yoki

Xususan, agar barcha mumkin boʻlgan qiymatlar (a,b) oraliqqa tegishli boʻlsa, u holda

Yoki

Taʼrif 6. Dispersiyadan olingan kvadrat ildizga

oʻrtacha kvadratik chetlanish deyiladi.
Taʼrif 7. Uzluksiz tasodifiy miqdorning M_o( modasi deb, uning shunday mumkin boʻlgan qiymatiga aytiladiki, bu qiymatga zichlik funksiyaning maksimumi mos keladi.
M_o(
Taʼrif 8. Tasodifiy miqdorning zichlik funksiya bilan chegaralangan yuzani teng ikkiga boʻluvchi qiymatiga Mediana M_e( ) deyiladi.
M_e( ): P( M_e( ))=P( M_e( ))=
Taʼrif 9. Tasodifiy miqdorning k-tartibli boshlangʻich momenti deb, tasodifiy miqdor k-darajasi matematik kutilmasiga aytiladi.
,
d.t.m. uchun:
u.t.m. uchun:
Taʼrif 10. Tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy nazariy momenti deb, tasodifiy miqdor k-darajasi matematik kutilmasiga aytiladi:

d.t.m. uchun:

u.t.m. uchun:

Ravshanki, agar
k=1 boʻlsa, u holda - matematik kutilma, , k=2 boʻlsa, u holda – dispersiyani beradi.
Markaziy momentlar boshlangʻich momentlar orqali quyidagicha formulalar bilan ifodalanadi: