12-mavzu: Ratsional funksiyalarni integrallash. Trigonometrik va irratsional funksiyalarni integrallash. Reja

12-mavzu: Ratsional funksiyalarni integrallash. Trigonometrik va irratsional funksiyalarni integrallash.
Reja:
1. Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash..
2. Kasr-ratsional ifodalarni . integrallash.
3. Universal trigonometrik almashtirish yordamida integrallash.
4. Trigonometrik funksiyalar orasidagi munosabatlardan foydalanib . integrallash.

Ushbu funksiyalar sodda kasrlar deyiladi, bunda – o‘zgarmas sonlar, – natural son va – kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas. Bu funksiyalarning integrallarini hisoblaymiz.

Ravshanki,
,

Endi integralni hisoblaymiz. Integral ostidagi kvadrat uchhadni quyidagicha yozib olamiz:
, bunda . Natijada bo‘ladi. Bu integralda almashtirish bajaramiz. U holda bo‘ladi. Keyingi integral quyidagicha hisoblanadi:



  .
Demak,

(*)
 bo‘ladi.
Endi integralni hisoblaymiz. Bu integralni hisoblashda yuqoridagi kabi belgilash va almashtirishlar bajaramiz.
Natijada


bo‘ladi, bunda integral rekkurrent formuladan topiladi.¹
Masalan, .
To‘g‘ri kasrlarni sodda kasrlarga yoyish
Faraz qilaylik, kasr ratsional funksiya-to‘g‘ri kasr berilgan bo‘lsin, bunda va lar ko‘phadlar bo‘lib,  ko‘phadning darajasi ko‘phadning darajasidagi kichik. Aytaylik, bu to‘g‘ri kasrning mahraji ko‘phad quyidagicha

ifodalansin, bunda – haqiqiy sonlar, – natural sonlar.
U holda

(1)

bo‘ladi, bunda – o‘zgarmas sonlar.
(1) tenglik to‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyilishini ifodalaydi.
(1) tenglikning o‘n g tomonidagi o‘zgarmas sonlar quyidagicha topiladi:
1) (1) tenglikni har ikki tomoni ga ko‘paytiriladi. Natijada mahrajdan qutilib tenglikka kelinadi,
2) bu tenglikning har ikki tomonidagi ning bir hil darajalari oldidagi koeffitsiyentlar tenglashtiriladi. Natijada o‘zgarmas sonlarni topish uchun tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi,
3) tenglamalar sistemasi yechilib, izlanayotgan o‘zgarmas sonlar topiladi.