Arifmetikalıq ámellerdi úyreniwdiń ulıwmalıq máseleleri mazmuní

Arifmetikalıq ámellerdi úyreniwdiń ulıwmalıq máseleleri
MAZMUNÍ

KIRISIW 3
I BAP. OQIWSHILARDI MÁSELELER SHESHIWGE ÚYRETIWDIŃ TEORIYALIQ TIYKARLARI. 8
1. 1. Baslanǵısh klass matematika usılda tekstli máseleler 8
1. 2. Máseleni sheshiwge úyretiwdiń tiykarǵı basqıshları 11
II BAP. BASLANǴISH KLASS OQIWSHILARIN MÁSELELER SHESHIWGE ÚYRETIW METODIKASINIŃ ULIWMA MÁSELELERI 15
2. 1. Matematikalıq máseleler hám olardıń túrleri 15
2. 2. Baslanǵısh klassta máselelerdi úyreniwde zamanagóy pedagogikalıq texnologiyalarnen paydalanıw 23
2. 4. Pedagogikalıq tájiriybe-sınaq nátiyjeleri jáne onıń analizi. 27
III. JUWMAQLAWSHI BÓLIM. 32
JUWMAQ 33
PAYDALANILǴAN ÁDEBIYATLAR : 34

KIRISIW

Kurs jumısınıń aktuallıǵı : «Tálim tuwrısında»gi hám «Kadrlar tayarlaw milliy programması tuwrısında»gi Ózbekstan Respublikası nızamlarına muwapıq, ulıwma bilim beriw pánlerin oqıtıwdıń úzliksizligi hám izbe-izligin támiyinlew, zamanagóy metodologiyasini jaratıw, ulıwma orta hám orta arnawlı, kásip-óner tálimi mámleket tálim standartların kompetentsiyaviy jantasıw tiykarında jetilistiriw, oqıw -metodikalıq komplekslerdiń jańa áwladın islep shıǵıw hám ámeliyatqa engiziwdi shólkemlestiriw maqsetinde ministrler Mákemesiniń sheshimi qabıl qilidi.
Joqarı tálim sistemasın tupten jetilistiriw, mámleketti sociallıq-ekonomikalıq rawajlandırıwdıń ústin turatuǵın wazıypalarınan kelip shıqqan halda, kadrlar tayarlaw mazmunın tupten qayta kóriw, xalıq aralıq standartlar dárejesine uyqas joqarı maǵlıwmatlı qánigeler tayarlaw ushın zárúr sharayatlar jaratılıwın támiyinlew maqsetinde:
1. Joqarı tálim sistemasın kelesinde jáne de jetilistiriw hám kompleks rawajlandırıw boyınsha eń zárúrli wazıypalar etip tómendegiler belgilensin:
Hár bir joqarı tálim shólkemi jáhándıń jetekshi ilimiy-tálim mákemeleri menen jaqın sheriklik baylanısları ornatıw, oqıw procesine xalıq aralıq tálim standartlarına tiykarlanǵan aldıńǵı pedagogikalıq texnologiyalar, oqıw programmaları hám oqıw -stilistik materialların keń engiziw, oqıw -pedagogikalıq iskerlikke, master- klasslar ótkeriwge, bilimlerdi jetilistiriw kurslarına shet el sherik tálim mákemelerinden joqarı maman oqıtıwshılar hám ilimpazlardı aktiv tartıw, olardıń bazasında sistemalı tiykarda respublikamız joqarı tálim mákemeleri magistrant, jas oqıtıwshı hám ilimiy xızmetkerleriniń stajirovka otawların, professor - oqıtıwshılardı qayta tayarlaw hám mamanlıǵın asırıwdı shólkemlestiriw;2
Búgingi kúnde oqıw procesi sapası hám natiyjeliligin tupten asırıw maqsetinde bir qatar jańa qararlar qabıl etińip atır. Ózbekstan Respublikası Prezidentiniń “Joqarı tálim sistemasın jáne de rawajlandırıw ilajları tuwrısında”gi 2017- jıl 20 - apreldegi PQ - 2909 - sanlı sheshimi joqarı tálim sistemasın tupten jetilistiriw, mámleketimizdi sociallıq-ekonomikalıq rawajlandırıw boyınsha ústin turatuǵın wazıypalarǵa uyqas halda, kadrlar tayarlawdıń mánis- mazmunın tupten qayta kórip shıǵıw, xalıq aralıq standartlar dárejesinde joqarı maman qánigeler tayarlaw ushın zárúr sharayatlar jaratıw maqsetinde qabıl etilgen.
Professor -oqıtıwshılardıń kásip sheberligin, pedagog xızmetkerlerdiń mamanlıǵın asırıw, sonıń menen birge, olardıń shet el sherik joqarı oqıw orınlarında bilimlerdi jetilistiriwi, magistratura, doktoranturada tálim alıwı hám de respublikamiznıń tayansh joqarı oqıw orınları qasında qayta tayarlıqtan ótiwi hám bilimlerdi jetilistiriwi.
Usı programmada, tiykarlanıp, mámleketimizdiń hár bir joqarı tálim shólkemi menen AQSH, Ullı Britaniya, Fransiya, Italiya, Niderlandiya, Rossiya, Yaponiya, Qubla Kareya, Kitay hám sol sıyaqlı basqa mámleketlerdiń jetekshi ilimiy-tálim mákemeleri menen sheriklik baylanıslarınıń ornatılǵanı oǵada zárúrli áhmiyetke iye boladı. Sol tiykarda hár jılı 350 nenanen artıq shet ellik joqarı maman pedagog hám ilimpazlardıń mámleketimiz joqarı oqıw orınları oqıw procesine qosılıwı názerde tutılmaqta.
Akademikalıq liceylerde oqıw procesi sapası hám natiyjeliligin tupten asırıw, akademikalıq liceylerde ulıwma bilim beriw mektepleriniń eń qábiletli pitkeriwshilerin jıynash, ulıwma bilim beriw mektepleri pitkeriwshileriniń saylanǵan kásipler hám qánigeliklerdi iyelep alıwǵa bolǵan zárúriyatın qandırıw ushın shárt- sharayatlardı jáne de keńeytiw maqsetinde “Orta arnawlı, kásip-óner tálimi mákemeleri iskerligin jáne de jetilistiriw ilajları tuwrısında”gi 2017- jıl 14- mart daǵı PQ - 2829 - sanlı Ózbekstan Respublikası Prezidentiniń sheshimi, ulıwma orta bilim beriwge qóyılıp atırǵan zamanagóy talaplardı esapqa alǵan halda ulıwma orta bilim beriw mákemeleri iskerligin shólkemlestiriw tuwrısındaǵı normativlik-huqıqıy hújjetlerdi jetilistiriw, ulıwma orta bilim beriwdiń orta arnawlı, kásip-óner tálimi menen ajıralmas baylanıslılıǵın támiyinlew maqsetinde “Ulıwma orta bilim beriw tuwrısındaǵı qaǵıynenı tastıyıqlaw haqqında”gi 2017- jıl 15- mart 140 -sanlı Ózbekstan Respublikası ministrler mákemesiniń sheshimi, “Tálim tuwrısında”gi hám “Kadrlar tayarlaw milliy programması tuwrısında”gi Ózbekstan Respublikası nızamlarına muwapıq, ulıwma bilim beriw pánlerin oqıtıwdıń úzliksizligi hám izbe-izligin támiyinlew, zamanagóy metodologiyasini jaratıw, ulıwma orta hám orta arnawlı, kásip-óner tálimi mámleket tálim standartların kompetentsiyaviy jantasıw tiykarında jetilistiriw, oqıw -metodikalıq komplekslerdiń jańa áwladın islep shıǵıw hám ámeliyatqa engiziwdi shólkemlestiriw maqsetinde “Ulıwma orta hám orta arnawlı, kásip-óner táliminiń mámleket tálim standartların tastıyıqlaw tuwrısında”gi 2017- jıl 6 - apreldegi 187-sanlı Ózbekstan Respublikası ministrler mákemesiniń sheshimi qabıllandı.
Respublikamızda “Tálim tuwrısında”gi nızam hám “Kadrlar tayarlaw milliy programması” talapları tiykarında tálim-tárbiya procesin jetilistiriw, pedagogikalıq kadrlardıń kásiplik tayınlıǵın quram taptırıw hám arttırıw mashqalasına arnalǵan izertlew jumısları keń qamrovda alıp barılmaqta.
Dástúriy oqıtıw metodikasında oqıw materialları tiykarlanıp tekst hám formulalar kórinisinde berilip, oqıw materialların kórsetiw múmkinshiligi derlik joq. Bunday kóriniste berilip atırǵan oqıw materialların oqıwshı tárepinen ózlestiriw tiykarlanıp izbe-iz túrde ámelge asıriladı, usınıń sebepinen olardı este qaldırıw hám ózlestiriw júdá tómen boladı.
Jańa oqıtıw metodikasında oqıwshılarǵa berilip atırǵan materiallardı qayta kodlastırıw hám ózleriniń modelin jaratıw máseleleri júklenbeydi. Bul oqıtıw metodikasında oqıw materialları tekst hám formula kórinisi menen bir qatarda, obrazlar kórinisinde de usınıs etiledi. Bul mániste informaciya texnologiyaları tiykarında oqıw materialların obrazlı kóriniste usınıwda olarǵa hár túrlı kórinistegi reńler, háreket, dawıs sıyaqlı elementlerdi kirgiziw oqıwshılardıń oqıw materialların qabıllaw procesi natiyjeliligin asırıw menen birge, berilip atırǵan materiallardı analiz qılıw, salıstırıwlaw hám de abstraksiyalash sıyaqlı zárúrli sapalardı rawajlantıradı. Oqıw materialların obrazlar kórinisinde usınıw ushın olardı informaciya texnologiyalarınan paydalanıp, elektron -didaktika tiykarında elektron kitap, sabaqlıq, kurs hám virtual stend kórinisinde jaratıw joqarıda qoyılǵan máselelerdi unamlı sheshiwge alıp keledi.
Shet el hám watanımız daǵı informacion-pedagogik texnologiyalardıń pedagogikalıq tiykarları boyınsha alıp barılǵan ilimiy-izertlewler analizi sonı kórsetedi, informacion-pedagogikalıq texnologiyalar elektron -didaktik (animatsiya ) kórinisindegi funksiyalarǵa tıykarlanıp olar:
- qulay kóriniste bolǵan oqıw materialların tusinip jetiwge, berilgen maǵlıwmatlar haqqında túsinik hám oyda sawlelendiriw payda etiwge;
- ko'p maǵlıwmatlardı alıw, yaǵnıy maǵlıwmatlardı tuwrınen-tuwrı alıw múmkinshiligi bar ekenligine;
- o'quv procesin jeńillestiriwge, yaǵnıy kem waqıt sarp etiw etip kóp maǵlıwmatlarǵa ıyelewge;
- moslashtiruvchanligiga, yaǵnıy oqıw procesin shólkemlestiriw ushın qolay bolǵan animatsiyalardı kórsetiw, ózbetinshe islew ushın kompyuter texnologiyalarınan paydalanıw hám gruppa -gruppa bolıp bilim alıwdı shólkemlestiriw máseleleriniń sheshimin tabıwǵa qaratılǵanlıǵın hám olarda eki túrdegi, yaǵnıy informatsion hám pedagogikalıq jantasıwlardı kóriw múmkin. Tálim sistemasında informacion-pedagogik texnologiyanen paydalanıw onıń jańa tarawı, yaǵnıy tálimdiń elektron didaktik forması payda bolıwına tiykar salıp, ol jaǵdayda: oqıw pánleriniń bapların ajıratıp, elektron kóriniste súwretlew, elektron oqıw ádebiyattıń lekciya hám ámeliy sabaqlar bólegin olardıń wazıypalarınan kelip shıqqan halda islep shıǵıw, elektron oqıw ádebiyattı bahalaw mexanizmin jaratıw hám nátiyjeni ámelde qollanıw etiw, elektron oqıw ádebiyatlar tiykarında virtual stendlar jaratıw hám oqıw procesine qóllaw, elektron oqıw ádebiyattı qóllaw arqalı oqıtıwdıń ulıwma dárejesin anıqlaw sıyaqlı múmkinshilikler jaratılıwı kórsetilgen.
Baslanǵısh klass oqıwshılarına matematika sabaqlıǵında oǵırı kóp ushraytuǵın máseleler hám olardıń sheshimlerin tabıw haqqındaǵı maǵlıwmatlardı biz 1-klasstayoq olarǵa uyretip, olardaǵı biliw hám pikirlew qábiletin o'stirib barıwımız oǵırı zárúrli bolıp tabıladı. Másele sheshiwge úyretiwdiń zárúrligi sonnan ibarat, oqıtıwshı óziniń tiykarǵı itibarın tekstli máseleler mazmunın matematika tiline kóshiriwge qaratmog'i kerek. Áwele, jetilisken matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw, olardıń programmada belgilep berilgen teoriyalıq bilimlerdi ózlestiriwlerinde ayrıqsha zárúrli áhmiyetke iye. Mısalı, eger biz oqıwshılarda qosıw haqqında tuwrı túsinik qáliplestiriwdi qálesak, onıń ushın balalar jıyındın tabıwǵa tiyisli jetkilikli muǵdarda ápiwayı máselelerdi derlik hár gezek jıynaqlardı birlestiriw ámelin atqarıp barıwı kerek. 1-klassta bir hám eki amalli máseleler uyretiledi. Máseleler sheshiw degi esaplaw jumısları sanlı máselelerdi sheshiw ilmiy tájriybelerin qáliplestiriw shınıǵıw etiwge salıstırǵanda kemrek waqtın talap etedi. Mısalı, biz oqıwshılarǵa máseleniń sheshimleri haqqında tolıq túsinik bergenimizden keyin, bul sheshken máselemiznıń oqıwshı túsinip shesha alıwı ushın biz máseleniń eń ratsional bólegin anıqlap hám sol usılda másele sheshiwge kóbirek oqıwshın tartıwımız kerek.
Máselelalarni sheshiwdiń keste usılı, máseleler hám olardı salıstırıwlawdı ekinshi klassta uyretiledi. Bul dáwirde oqıwshılardıń pikirlew sheńberi jáne de kengayadi, olardı kestege qaray másele dúziwge, óz-ara teris máseleler dúziwge hám olardı salıstırıwlawǵa odaladi. Baslanǵısh klaslarda uyreniletuǵın máseleler sheshiwdiń ol yamasa bul teoriyalıq materiallardı ózlestiriw processindegi zárúrli ornın aytıp, programmada sonday dep ataladı : “Natural sanlar arifmetikasi, noldı úyreniw maqsetke muwapıq máseleler hám ámeliy jumıslar sisteması tiykarında dúziledi. Bul degen sóz hár bir jańa túsinikti quram taptırıw mudamı bul túsinik áhmiyetin túsindiriwge járdem beretuǵın, onıń qollanıwın talap etetuǵın ol yamasa bul máseleni sheshiw menen baylanısadı”. Ápiwayı máseleler oqıwshılardı matematikalıq munasábetler menen tanıstırıwdıń zárúrli qurallarınnen biri bolıp xızmet etedi. Ápiwayı máselelerden úlesler, qatar geometriyalıq túsinikler hám algebra elementlerin úyreniwde de paydalanıladı. Ápiwayı máseleler oqıwshılarda quramalı máselelerdi sheshiw ushın zárúr bolatuǵın bilimler, ilmiy tájriybeler hám kónlikpelerdi quram taptırıw ushın tiykar bolıp xızmet etedi. Sheshiliwi ushın bir neshe óz-ara baylanıslı ámellerdi orınlaw talap etiletuǵın máseleler quramalı máseleler dep ataladı.
Baslanǵısh klasslar ushın matematika programmasında balalardı máselelerdi sheshiwge úyretiwge úlken áhmiyet bergen. Bul programmada balalarǵa máselelerdi sheshiwde olar aldınan úyrengen arifmetik ámellerdiń ózgesheliklerinen paydalanıwı hám ózlerine málim bolǵan usıllarnen eń ratsionalini tańlay alıwǵa úyretiw zárúrligi aytıp ótken. Sonday etip, máseleni sheshiw ushın berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı qatar baylanısıwlardı anıqlaw hám olarǵa muwapıq túrde arifmetik ámellerdi tańlaw, keyininen bul ámellerdi orınlaw zárúr. Sol sebepli biz bul tema yaǵnıy baslanǵısh klaslarda matematikanen ápiwayı máselelerdi sheshiwde oqıwshılar qızıǵıwshılıǵın qáliplestiriw jolların bul pitkeriw qaniygelik jumısımızda islep shıǵıwdı óz aldımızǵa maqsetin qoydık. Joqarıda aytıp ótilgen pikirler bul temanıń aktuallıǵın bildiredi.
Kurs jumısınıń maqseti hám wazıypaları : Baslanǵısh klaslarda matematikanı oqıtıw natiyjeliligin asırıwda zamanagóy pedagogikalıq texnologiyalar hám olardı qóllaw usılların islep shıǵıw, programma materiallarına uyqas tekstli máselelerdi úyreniwdiń nátiyjeli usılların anıqlaw jańa pedagogok texnologiyalarnen paydalanıp másele sheshiwdi ámelge asırıw jolların izlewden ibarat. Kursjumıstıń wazıypaları tómendegilerdi quraydı.
1. Baslanǵısh klaslarda zamanagóy texnologiyalar tiykarında matematika sabaqların shólkemlestiriwdiń ámeldegi jaǵdayın úyreniw.
2. Matematika sabaqlarında zamanagóy pedagogikalıq texnologiyalardı shólkemlestiriwdiń ob'yektiv hám sub'yektiv faktorlardı anıqlaw.
3. Baslanǵısh klaslarda matematika sabaqların zamanagóy texnologiyalar tiykarında shólkemlestiriwge xızmet etiwshi maqul túsetuǵın forma, metod hám qurallardı belgilew.
4. Baslanǵısh klass matematika sabaqların tálimdiń dáwirziy interaktiv metodları tiykarında shólkemlestiriwde arnawlı metodlardı tájiriybe -sınaqtan ótkeriw jáne onıń natiyjeliligin anıqlaw.
Kursjumısınıń obiekti: Ulıwma orta bilim beriw mektepleriniń baslanǵısh klass matematika sabaqlarındaǵı oqıtıw procesi.
Ulıwma bilim beriw mektepleriniń baslanǵısh klass matematika sabaqlarında máseleler haqqındaǵı túsiniklerdi qáliplestiriw mazmunı, usılları hám nátiyjeli quralları.
Kurs jumısınıń dúzilisi: Kurs jumısı kirisiw, tiykarǵı bólim bapları, juwmaq hám paydalanılǵan ádebiyatlar kestelerinen ibarat.

I BAP. OQIWSHILARDI MÁSELELER SHESHIWGE ÚYRETIWDIŃ TEORIYALIQ TIYKARLARI.

1. 1. Baslanǵısh klass matematika usılda tekstli máseleler

Turmısda sanlar menen baylanıslı bolǵan sheksiz kóp turmıslıq jaǵdaylar payda boladıki, bul sanlar ústinde túrli arifmetik ámeller orınlaw talap etiledi. Sheshiliwi ushın bir arifmetik ámel orınlanıwı zárúr bolǵan másele ápiwayı másele dep ataladı.
Bular tómendegiler bolıp tabıladı:
1. Jas tábiyatshilerge 15 top alma náli hám 10 top olxo'ri náli ajıratıldı. Jas tábiyatshilerge qansha nál ajıratılǵan?
2. Jeńil mashina jolda 4 saat boldı hám saatına 56 km tezlik menen júrdi. Mashina qansha aralıqtı basıp ótti?
3. Dúkanda 2 bólek shıt sotildi. Birinshi bólek ushın 180 swm, ikknchi bólek ushın eki ret kóp pul beriwdi, ekinshi bólek ushın qansha pul beriwgen?
Tálim maqsetlerinde kóbinese obstrakat jaǵdaylarnen paydalanıladı hám zárúrli máseleler dep atalıwshı másele payda etinadi. Mısalı : 8 ni payda etiw ushın 12 den qaysı sannı ayırıw kerek? Biz ret arifmetik máselelerdi kórip shıqtıq. Olarda qanday ulıwmalıq bar?
Áwele hár bir másele berilgen hám belgisiz sanlardı óz ishine aladı. Máseledegi san jıynaqlar sanın yamasa muǵdarlardıń ma`nisin xarakterleydi, munosasbatlarini ańlatadı yamasa berilgen abstrakt sanlar boladı. Mısalı 1- máselede 15 sanı alma nálleri kompleksin sanın haraterlaydi. 2-máselede 56 sanı muǵdar uzınlıqtıń ma`nisi bolıp tabıladı. 3-máselede 2 soni eki sannıń munasábetin 2 hám 1-bólektegi chitnıń bahosini ańlatadı. 4-máselede 12, 8 abstrakt sanlar berilgen bolıp, bular uyqas túrde kamayuvchi hám ayırma bolıp tabıladı. Hár bir máselede shárt hám soraw boladı. Másele shártida berilgen sanlar arasındaǵı hám berilgen sanlar menen ızlenip atırǵan sanlar arasındaǵı baylanısıw kórsetiledi, bul baylanısıwlar tiyisli arifmetik ámellerdi tańlawdı belgilep beredi. Soraw bolsa qaysı san ızlenip atırǵan san ekenligin ańlatadı.
Mısalı, 2-máseleniń shárti: jeńil mashina jolda 4 saat boldı hám saatına 56 km tezlik menen basıp ótti? Máseleni sheshiw bul másele shártida berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı baylanısıwdı ashıp beriw jáne bul tiykarda arifmetik ámellerdi tańlaw, keyin bolsa olardı orınlaw hám de másele sorawına juwap beriw bolıp esaplanadı.
Joqarıda keltirilgen máseleniń sheshilishini kóremiz. 1-másele sharli alma hám olxo'ri nálleri jıynaqlar birlespesi ámelin anıqlaydı. Másele sorawı usı jıynaqlar birlespesi ámeli másele sheshiliwi ushın zárúr bolǵan berilgen sanlardı qosıw ámeline sáykes keledi. 15+10=25 másele sorawına juwap : jas tábiyatshilerge 25 top nál ajıratılǵan.
2-másele shártinen mashinanıń tezligi jáne onıń hárekety waqtı málim. Mashina basıp ótken joldı tabıw talap etiledi. Bul shamalar arasındaǵı ámeldegi baylanısıwnen paydalanıp máseleni sheshemiz: 56∙4=224 másele sorawına juwap : mashina 224 km jol basqan.
3-máseleni sheshemiz ushın 2 ret kóp ańlatpanı mánisin biliwden paydalanıladı. 18∙2=36 másele sorawına juwap : 2-bólek 36 swm turadı.
Kórip turıpmizki, turmıslıq jaǵdaynen arifmetik ámellerge ótiw túrli máselelerde berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı túrli baylanısıwlar menen belgilenar eken.
Máselelerdiń túrleri haqqındaǵı máselege toqtalamiz: hámme arifmetik máseleler olardı sheshiw ushın atqarılatuǵın ámeller sanına qaray soda hám nurakkab máselelerge bólinedi. Sheshiliwi ushın bir arifmetik ámel orınlanıwı zárúr bolǵan másele ápiwayı másele dep ataladı. Sheshiliwi ushın bir-biri menen baylanıslı bo'gan bir neshe olar birdey ámel bolıwınan qaramastan ámeliy orınlaw zárúr bolǵan másele quramalı másele bolıp tabıladı.
Ápiwayı máselelerdi qanday ámel járdeminde sheshiliwine qaray (qosıw, ayırıw, kóbeytiw, bolıw menen sheshiletuǵın ápiwayı máseleler) yamasa olardıń sheshilashi dawamında qáliplestiriletuǵın túsiniklerge baylanıslı túrde túrlerge ajıratıw múmkin.
Máseleler sheshiw procesiniń ózi málim metodika oqıwshılardıń intellektual rawajlanıwına talay unamlı tásir kórsetedi, sebebi ol intellektual operatsiyalardı analiz hám sintez, konkretlestiriw hám abstraklashtirish, salıstırıwlashi, ulıwmalastırılıwı talap etiledi. Mısalı, oqıwshı qálegen máseleni sheshayotganida analiz etedi, sorawdı másele shártida ajratadı, sheshiw planın dúzip atırǵanında sintez etedi, bunda konkretlashtirishnen (másele shártini hayolan sızadı ) keyininen abstraklashnen paydalanadı (konkret situatsiyanen kelip shıǵıp arifmetik ámeldi tańlaydı ) qandayda bir bir túrdegi máselelerdi kóp ret sheshiw nátiyjesinde oqıwshı bul túrdegi máselelerde berilgen hám ızlenip atırǵan sanlar arasındaǵı baylanısıwlar haqqındaǵı bilimdi ulıwmalastıradı, bunıń nátiyjesinde bul túrdegi máselelerdi sheshiw usılı ulıwmalastırıladı.
Balalardı másele sheshiwge úyretiw - bul berilgen hám ızlenip atırǵan sanlar arasındaǵı baylanısıwdı anıqlawdı hám bunıń tiykarında arifmetik ámellerdi orınlawdı úyreniw bolıp esaplanadı.
Máselelerdi sheshiw uquvida oqıwshılar iyelewi kerek bolǵan oraylıq zveno berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı baylanısıwdı ózlestiriw bolıp tabıladı. Balalardıń máselelr shesha alıw uqıpları jáne bul baylanısıwlardı qanshellilik jaqsı ózlestirganliklariga baylanıslı. Sonı esapqa alǵan halda baslanǵısh klaslarda sheshiliwi berilgen sanları hám belgisizler arasındaǵı birdey baylanısıwlarǵa tiykarlanǵan konkret hám mazmunı hám sanı berilgenleri menen bolsa parq etiwshi máseleler gruppası menen jumıs kóriledi. Bunday máseleler gruppasın bir túrdegi máseleler dep ataymız.
Máseler ústinde islew oqıwshılardı aldın bir túrdegi máselelerdi sheshiwge, keyininen basqa túrdegi máselelerdi uechishga, keyininen basqa túrdegi máselelerdi sheshiwge májbúrlewge alıp keliniwi kerek emes. Onıń tiykarǵı maqseti oqıwshılardı túrli turmıslıq jaǵdaylar daǵı berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı málim baylanısıwlardı olardı quramalılasıp barıwın názerde titgan halda anıqlay alıwǵa úyretiw bolıp tabıladı. Buǵan erisiw ushın oqıtıwshı bul túrdegi máselelerdi sheshiwdi úyretiw metodikasında málim maqsetlerdi kózleytugın basqıshlardı ańlıw kerek.
Birinshi basqıshda oqıtıwshı ko'rilayotgan túrdegi máselelerdi sheshiwge tayarlıq jumısın júrgizedi. Bul basqıshda oqıwshılar usı máselelerdi sheshiwde tiyisli ámellerdi tańlaw ushın tiykar bolatuǵın baylanısıwlardı ózlestiriwleri kerek.
Ekinshi basqıshda oqıtıwshı ko'rilayotgan túrdegi máselelerdi sheshiliwi menen oqıwshılardı tanıstıradı. Bunda oqıwshılar berilgen sanlar hám belgisiz san arasındaǵı baylanısıwdı anıqlaw, bunıń tiykarında arifmetik ámellerdi tańlawdı úyrenediler, yaǵnıy máselede kórsetilgen konkret, jaǵdaynen tiyisli arifmetik ámeldi tańlawǵa ótiwdi úyrenediler. Bunday islerdi alıp boorish nátiyjesinde oqıwshılar ko'rilayotgan túrdegi máselelerdi sheshiw usılı menen tanısadılar.
Úshinshi basqıshda oqıtıwshı ko'rilayotgan túrdegi máselelerdi sheshiw uquvini qáliplestiredi. Oqıwshılar bul basqıshda ko'rilayotgan túrdegi qálegen máseleni onıń konkret mazmunınan qaramastan sheshiwdi úyreniwleri kerek, yaǵnıy bul túrdegi máselelerdi sheshiw usılların ulıwmalastırıwları kerek.
Joqarıda belgilengen basqıshlar ústinde islew metodikasın tolıqlaw qaray shıǵamız.
Ol yamasa bul túrdegi máselelerdi sheshiwge tayarlanıwı arifmetik ámellerdi tańlawda berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı qanday baylanısıwdıń tayanishga baylanıslı. Soǵan muwapıq túrde arnawlı shınıǵıwlar ótkeriledi.
1. Kóbinese - máseleler sheshiwge shekem jıynaqları ústinde ámeller atqaradı. Mısalı, kóp ápiwayı máselelerdi sheshiliwi menen tanıstırıw aldınnen jıynaqlar ústinde ámellerge tiyisli shınıǵıwlar beriw kerek. Bunda jıynaqlardıń elementleri konkret predmetler bolıwı kerek (paqallar, qaǵazlar, qiyilgan geometriyalıq figuralar, súwretler hám taǵı basqalar ). Mısalı, jıyındın tabıwǵa tiyisli shınıǵıwlar usınıs etiledi.
Jıynaqlar ústinde ámeller járdeminde,, … ta úlken, artıq'',,, … ta kishi'',,, … ret úlken'',,, … ret kishi'' ańlatpalardıń mánisi ashıp beriledi, bul ayırma hám márteli munasábet menen baylanısqan máselelerdi kirgiziwge tayarlıq boladı.
2. Arifmetik máseleler shamanen (uzınlıq, massa ), kólem, waqıt hám basqalar menen baylanısqan, sonıń yamasa bul máselege jańa shama menen tanıstırıw kerek. Endigidengi jumıslarda paydalanıw ushın birpara shamalardı balalar ayırım dápterge jazıp barıwları paydalı boladı.
3. Kóp máselelerdi sheshiwde ámeller bul shamanen arasındaǵı ámeldegi baylanısıwlarǵa tıykarlanıp saylanadı. Ámellerdi tańlawda oqıwshılar bul baylanısıwlardı aqıl ete alıwları hám paydalana biliwleri ushın shamalar arasındaǵı baylanısıwlardı máselelerdi bul shamalardıń konkret mánisi tiykarda sheshiw yamasa ;li menen ashıp beriwi kerek. Mısalı, tómendegi máseleni sheshiw kerek:,, Hár nenası 4 sumnan 3 otkritka satıp alındı. Qansha pul tolıqnǵan? '' Bul máseleni sheshiw ushın bul baylanısıwnen paydalanıladı : eger tavar bahası hám sanı málim bolsa, onıń (kólemi) jamini kóbeytiw ámeli járdeminde tabıw múmkin.
Oqıwshılar ol yamasa bul baylanısıwdı ózlestiriwleri ushın maqsetke qaratılǵan, baqlawlardı shólkemlestiriw kerek. Mısalı, baha, muǵdar hám jámi aqshası biln tanıstırıw maqsetinde dúkanǵa sayaxat shólkemlestiriw mukin, bunda oqıwshılar baha menen tanısadılar, birpara tovarlardıń bahosini óz dápterine jazıp qóyadılar, aldı -sotdi procesin gúzetediler. Keyinirek sabaqta balalar málim bah ova muǵdarı boyıchicha jamini tabıwǵa tiyisli ápiwayı máseleler dúzediler, keyininen kóbeytiw ámeliniń konkret mánisi haqqındaǵı bilmga tıykarlanıp, bul
máseleni sheshediler. Máseleni sheshilishini kórgenlerinen keyin eger baha hám muǵdarı málim bolsa, jámi pulni kópytirish járdeminde tabıw múmkinligine itibar berediler. Oqıwshılar bul bilimnen keyinirek ápiwayı máselelerdi de quramalı máselelerdi de sheshiwde paydalanadılar.
Máseleniń hár bir, ayırım túri ústinde islew ayriqsha arnawlı tayarlıq jumısın talap etedi, bul haqqında hár bir túrdegi máselelerdi sheshiw metodikasın qaralayotganda aytıladı.
Tayarlıq jumısların názerde tutqan halda balalardı ko'rilayotgan túrdegi máselelerdiń sheshiliwi menen tanıstırıwǵa ótiw múmkin.

1. 2. Máseleni sheshiwge úyretiwdiń tiykarǵı basqıshları

Máseleler sheshiwge úyretiwde tómendegi etaplarga rioya qılıw maqsetke muwapıq bolıp tabıladı.
1- etap-másele mazmunı menen tanıstırıw ; 2-etap-másele sheshimin izlew;
3- etap-máseleni sheshiw;
4- etap-másele sheshimin tekseriw.
Ajıratılǵan etaplarga bir-biri menen ajıralmas baylanısqan jáne bul basqıshdıń hár bir etapida jumıs tiykarlanıp oqıtıwshınıń baslıqlıǵında alıp barıladı.
Hár bir etapda islew metodikasın tolıq kórip shıǵamız.
1. Másele mazmunı menen tanıstırıw. Másele mazmunı menen tanıstırıw onı oqıp, máselede sáwlelendirilgen turmıslıq jaǵdaynı kóz aldına keltiriw bolıp esaplanadı. Mısalıui ádetde balalar oqıydılar.
Másele teksti balalarda bolmaǵan táǵdirde yamasa olar ele oqıwdı bilamagan halda, máseleni oqıtıwshı oqıydı. Balalardı máseleni tuwrı oqıwǵa úyretiw júdá zárúrli bolıp tabıladı. Ámeldi tańlawdı belgilep beretuǵın,, bar edi'',,, jo'nab ketti'',,, qaldı'',,, teńdeyden boldı''kabi sózlerge hám sanı maǵlıwmatlarǵa pát berip oqıw másele sorawın intonaciya menen ajıratıp oqıw. Eger másele tekstida túsiniksiz sózler ushrassa olardı túsindiriw yamasa máselede gáp ketip atırǵan predmetti, mısalı, buldozer, oriw mashinası hám taǵı basqanı kórsetiw múmkin.
Máseleni balalar bir-eki ret, geyde bir neshe ret oqıydılar, biraq máseleni bir oqıǵanda este qalıwǵa olardı az-aznen uyretip barıw kerek, sebebi bul halda olar máseleni kóbirek dıqqat menen oqıydılar.
Máseleni oqıǵanda, balalar máselede sáwlelendirilgen turmıslıq jaǵdaynı oyda sawlelendire alıwları kerek. Sol maqsette balalar máseleni oqıp bolǵanlaridaqn keyin máselede ne to'g'grisida gáp ketip atırǵanın oyda sawlelendiriw etip kóriwleri hám gúrriń etip beriwlerin usınıw maqsetke muwapıq boladı.
2. Másele sheshimin izlew. Másele mazmunı menen tanısqannan keyin onıń sheshimin izlewge ótiw múmkin oqıwshılar máselege kirgen shamalar, berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan sannı ajıratıp kórsetiwleri, berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı baylanısıwdı anıqlawları hám bunıń tiykarında tiyisli arifmetik ámeldi tańlawları kerek.
Jańa túrdegi máselelerdi kiritilayotganida másele sheshimin izlewge oqıtıwshı basshılıq etedi, keyinirek oqıwshılar bunı ǵárezsiz atqaradılar. Ol halda da bul halda da shamalar, berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan sannı ajıratıw, ualr arasındaǵı baylanısıwlardı anıqlawda balalarǵa járdem beretuǵın arnawlı usıllarnen paydalanıladı. Bunday usıllar gápine máseleni ilyustratsiyalash, máseleni tákirarlaw, máseleni analiz qılıw hám esitiw planın dúziw kiredi. Bul usıllardıń hár birin kórip shıǵamız :
Máseleni ilyustrasiyalash bul máselege kirgen shamalar berilgen hám ızlenip atırǵan, sanlardı ajıratıw hám olar arasında baylanısıwdı, anıqlaw ushın kórsetpeli qurallarnen paydalanıw sonday eken.
Illyustratsiya predmetli yamasa semantik bolıwı múmkin. Birinshi halda máselede aytilayotgan predmetlerden yamasa bul predmetlerdiń súwretlerinen illyustratsiya retinde paydalanıladı, olar járdeminde predmetler ústinde tiyisli ámeller ilyustratsiya etiledi.
Mısalı, tómendegi máseleni illyusratsiya qılıw kerek.,, Balalar chana uchayotgan edi. Olarnen 5 qız bala hám 2 ul bala úyine ketiwdi. Hámmesi bolıp uyge neshe bala ketken? '' bunday waqıtta ilyustratsiya ushın balalardıń ózlerinen paydalanǵan yaǵnıy : doskaǵa chana uchayotgan balalardı o'ynovchi oqıwshılardı shıǵarıw kerek, keyininen 5 ta qız uyge ketkenin, yaǵnıy shetke shıqqanın keyin 2 ul bala uyge ketkenin (qızlarǵa barıp qosıwadı ) kórsetiw kerek. Sonday etip, jıynaqlardı birlestiriw ilyustratsiya etiledi hám eger balalar ketti dep atalsa da balalar másele qosıw ámeli járdeminde sheshiwi oqıwshılarǵa ayqın boladı. Predmetlerdiń ózinden kóre kóbinese olardıń súwretlerinen yamasa basqa predmetlerden paydalanıladı.
Predmetli illyustratsiya máselede suwretlengen turmıslıq jaǵday tuwrısında ayqın oyda sawlelendiriwge járdem beredi, bul keyinirek ámeldi tańlawda tiykarǵı moment bolıp xızmet etedi. Predmetli illyustratsiyanen jańa túrdegi máselelerdi sheshiw menen tanıstırılıp atırǵanda kóbirek klassta paydalanıladı.
Predmetli illyustratsiya menen bir qatarda 1-klasstan baslap seatik illyustratsiyanen paydalanıladı - bul máseleni qısqa jazıp aldılarr.
Qısqa jazıwda názerden keshirim ushın qolay formada shamalar berilgen hám ızlenip atırǵan sanlar sonıń menen birge máselede ne tuwrısında gáp ketip atırǵanın bildiriwshi birpara sózler,,, bar edi'',,, qoydıq'',,, boldı'' hám t.b. hám munasábetti bildiriwshi sózler:,, úlken'' (kóp),,, kishi'' (kem) hám t.b.jazıp qóyıladı.
Qısqa jazıwdı keste kórinisinde yamasa, kestesiz, sonıń menen birge sızılma formasında orınlaw múmkin. Mısallar kóreylik, 1-másele: Balıqchi 10 shortanbaliq, shortanbaliqlarnen 8 kóp teńgebaliq tutdi. Balıqchi qansha shortanbaliq hám teńgebaliq tutqan? Bul máseleni kestesiz qısqa jazıp alıw maqsetinde : Shortanbaliq - 10
Teńgebaliq -?, 8 artıq
2- másele. Traktor 6 saat jumıs waqtında 48 litr janılg'i sarpladi. Janılg'i saatına sol normada sarp etiw bolǵanda 12 saatta traktorga qansha yonlig'i kerek boladı? Bul máseleni kestede jazıp alǵan jaqsı.
Janar may sarp etiw bolıw
normasi Jumıs waqtı Sarp etiw bolǵan jámi janar may
Birdey 6 saat
12 saat 48 litr? Keltirilgen mısalnen kórinip turıptı, olda, keste formada shamalardıń atınıń da ajıratıp jazıw talap etiledi.
Kóp máselelerdi sızılma járdeminde kórsetiw múmkin:,, oqıw jılınıń basında oqıwshı ushın kostyum, batılka hám shapka satıp alındı. Kostyum 2400 swm turadı. Ol batılkanen 3 ret qımbat. Satıp alınǵan zat etilgen zatlardıń hámmesi qansha turadı?
Sızılma formasında kórsetiwdi shamalar bahalarınıń munasábetleri
berilgen máselelerdiń sheshilishida (úlken, kishi, sonsha) sonıń menen birge háreket menen baylanıslı máselelerdiń sheshilishida paydalanıw maqsetke muwapıq boladı.
Aqırǵı halda háreket qılıp atırǵan dene basıp ótken aralıqtı kesindi menen háreket baǵdarın strelka menen, háreket qılıp atırǵan dene joldaǵı punktlerdi bayraqsha yamasa sızıqsha menen suwretlab qabıl etilgen, bunda tezlik yo'analishini kórsetip atırǵan, strelkanıń tiyine yamasa ústine waqıt bolsa sol waqıt ishinde ótilgen aralıqtı suwretleytuǵın kesindiniń ústine qóyıladı, joldıń uzınlıǵı tiyisli kesindiniń tiyine jazıladı.
Sanap ótilgen ilyustratsiyalarnıń hár birin balalardıń ózleri atqarganlari táǵdirdagina bul ilyustratsuyalar másele sheshimin tabıwǵa járdem beredi, sebebi tek sol haldaǵana olar máseleni ózleri analiz etiwleri múmkin. Sonday eken balalardı illyustratsiyalarni ózleri orınlawlarına úyretiw zárúr. Aldın jańa túrdegi másele menen tanıstırılıp atırǵanda qısqa jazıwshı oqıtıwshı baslıqlıǵında balalardıń ózleri orınlasadı, keyininen ol másele sheshimin tabıwǵa járdem berediler táǵdirde ǵárezsiz orınlasadı.
Illyustratsiyalarni orınlaw waqtında birpara balalar másele sheshimin tabadılar, yaǵnıy olar máseleni sheshiw ushın qaysı ámellerdi orınlaw zárúr ekenligin biladilar. Biraq balalardı bir bólegi berilgen sanlar hám ızlenip atırǵan san arasındaǵı baylanısıwdı hám de tiyisli arifmetik ámeldi tek oqıtıwshı máseleni analizi dep atalıwshı arnawlı sáwbet ótkeredi.
3. Máseleniń sheshiliwi. Máseleniń sheshiliwi bul sheshim planı tuzilayotganda saylanǵan arifmetik ámellerdi orınlaw bolıp esaplanadı. Bunda hár bir ámeldi atqara turıp neni tapayotganimizni túsindiriw shárt.
Másele sheshimin awızsha yamasa jazba túrde orınlawǵa bolatuǵın. Awızsha sheshiwde tiyisli arifmetik ámeller túsindirisler awızsha atqarıladı. Baslanǵısh klaslarda sheshiletuǵın máselelerdiń derlik yarımı awızsha orınlanıwı kerek. Bunda balalardı atqarılıp atırǵan máselelerdiń derlik ámellerge tiyisli tuwrı hám qısqa túsindirisler beriwge úyretiw kerek.
Jazba sheshiwde ámeller jazıladı. Olar ushın túsindiriwlerdi bolsa oqıwshılar jazadılar yamasa awızsha aytadılar.
Baslanǵısh klaslarda másele sheshilishini tómendegi tiykarǵı formaları bar:
1. Másele boyınsha ańlatpa dúziw jáne onıń ma`nisin tabıw ;
2. Másele boyınsha teńleme dúziw jáne onı sheshiw;
3. Sheshiliwi ayırım ámellerdiń kórinisinde jazıw.
Máseleler ústinde islewde málim sistemanı belgilew jáne onı engiziw ilmiy tájriybesi.
Máseleler ústinde islew jobası
1. Máseleni oqıp shıǵıń, máselede ne haqqında gáp baratırǵanın
ózińiz oyda sawlelendiriw etiń.
2. Máselede ne málim hám neni tabıw kerekligini anıqlawtirib
alın. Eger másele tekstini túsinip alıw qıyın bolsa, onı qısqa jazıń (yamasa máselege tiyisli sızılma tayarlań ).
3. qisqa jazıw boyınsha hár bir san neni kórsetiwin túsintir hám
másele sorawın tákirarlang.
4. Oylap soqır, másele sorawına bır jola juwap beriw múmkinbe, eger múmkin bolmasa, nege? Aldın neni, keyin neni biliw múmkin?
Sonday etip biz oqıwshılardı jańa túrdegi máseleler menen tanıstırıw metodikasınıń ulıwma máselelerdi qaray shıqtıq. Bul basqıshda jumıs oqıtıwshı baslıqlıǵında alıp barıladı.

II BAP. BASLANǴISH KLASS OQIWSHILARIN MÁSELELER SHESHIWGE ÚYRETIW METODIKASINIŃ ULIWMA MÁSELELERI

2. 1. Matematikalıq máseleler hám olardıń túrleri

Matematikalıq máseleler ápiwayı hám quramlı máselelerge ajratıladı. Ápiwayı máseleler bir ámel menen sheshiw múmkin bolǵan máseleler gápine kiritiledi. Bir neshe ápiwayı máseleden dúzilgen hám usınıń sebepinen eki yamasa onen artıq ámel járdeminde sheshiletuǵın máseleler quramlı máseleler dep ataladı.
Hár qanday ápiwayı máselege tiyisli eki teris másele dúziw múmkin, olardıń hár birine sol syujet boyınsha ızlenip atırǵan san retinde bolsa tuwrı másele shártida málim bolǵan san qatnasadı. Mısalı : háwlinde 5 qız oynap atırǵan edi. Olardıń 2 tasi uyge ketti. Háwlinde neshe qız qaldı? Máselege 2 teris másele dúziw múmkin. Birinshisi,, Háwlinde bir neshe qız oynap atırǵan edi. 2 qız úyine ketkennen keyin, háwlinde 3 qız qaldı. Aldın háwlinde neshe qız qaldı? 2- háwlinde 5 qız. Bir neshe qız úyine ketkennen keyin háwlinde 3 qız qaldı. Neshe qız úyine ketken? '' Bul másele berilgen 1-máselege salıstırǵanda, sonıń menen birge 2-máselege salıstırǵanda da teris másele retinde qaraw múmkin.
Bunnan tısqarı, ápiwayı máseleler arasınnen tikkeley bolmaǵan kórsetilgen máseleler ajratıladı. Mısalı tómendegi másele sonday máseleler turine kiredi.,, Stol ústinde 7 qálem bar. Bular qutidagi qálemlerden 4 artıq. Qutida neshe qálem bar? '' Bul másele shártida,, artıq'' delingen másele bolsa ayırıw menen sheshiledi.
(7 - 4 = 3).
Ápiwayı máselelerdiń tiykarǵı túrlerin tómendegishe bólistiriw baslanǵısh mekteplerinde qollanıw ushın qolay :
1. Arifmetik ámeller mazmunın ashıwǵa tiyisli máseleler : jıyındın qaldıqtı tabıwǵa tiyisli máseleler, birdey qosılıwshılar jıyındısın tabıwǵa tiyisli máseleler, bolıwǵa (mazmunına kóre bolıwǵa vat eń bólimlerge bolıwǵa ) tiyisli máseleler.
2. Ámelniń belgisiz komponentlerin (qosılıwshı, kamayuvchi, alınıwshı, kópaytuvchi, bóliniwshi, bóliwshi) tabıwǵa tiyisli máseleler.
3. Bir neshe birlik (yamasa bir neshe ret) artıq (yamasa kem) munasábeti menen baylanıslı máseleler sannı bir neshe birlik (yamasa bir neshe ret) arttırıw 9 yoki kemeytiwge tiyisli tikkeley (yamasa tikkeley bolmaǵan ) kórsetilgen máseleler, sanlardı ayırmalı (yamasa márteli) salıstırıwlawǵa tiyisli máseleler.
4. Shamalardıń proportsional baylanısıwlarına tiyisli máseleler.
Hámme túrdegi ápiwayı máseleler oqıwshı ushın tómendegi maqsetlerde kerek boladı : 1) Matematikalıq máselelnıń strukturası (quramı ) menen tanısıw, yaǵnıy onıń shárti berilgenleri sorawı ızlenip atırǵan muǵdarları menen máseleniń sheshimi, sorawı, juwabı, ámel menen sonıń menen birge, hám t.b. atamaları menen (bular matematikalıq munasábetlerdi ańlatadı ) tanısıw.
2) Balalarda másele sorawına juwap beriw ushın orınlaw kerek bolǵan ámellerdi tańlawǵa sanalı munasábette bolıwdı tárbiyalaw (máseleler, ámeller mazmunın ashıwǵa járdem beredi).
3) Shatrga kirgen shamalar arasındaǵı elementar funksional munasábetlerdi birinshi ret kóriw ámeller komponentler arasındaǵı baylanısıwlardı túsindiriw.
4) Hár túrlı matematikalıq shınıǵıwlardı turmıs menen bólew bul balalardı pánge bolǵan qızıǵıwshılıqlardı asıradı, kónlikpelerdi iyelew procesin janlandıradı.
5) Ápiwayı másele tekstini ózgertiw ústinde islew oqıwshına kóbirek obstrakt matematikalıq túsiniklerdi iyelewge járdem beredi. Mısalı, bul,, Malika 7 dápter satıp aldı. Dápter 200 swm turadı. Malika qansha pul tólegen? '' Máseleniń túrin, mısalı, dápterdiń bahası 200 swm, 7 dápter qansha turıwın biling, sıyaqlı abstrakt túsiniklerdi kirgiziw menen ózgertiw múmkin.
6 ) Oqıwshın hár túrlı quramlı máseleler sheshiwge tayarlaw.

Bala ongiga matematika asoslarini joylash, unıń bilim doirasini keńeytiw hám tártipke salıw, shıdamlılıq hám talap etiwshilikti tárbiyalaw.

Matematikanı oqıtıw sistemasında ápiwayı máseleler júdá zárúrli rol oynaydı.
Ápiwayı máselelarni yechish yordamida matematika kursinıń
oraylıq túsiniklerinen biri - arifmetik ámeller haqqındaǵı túsinik hám basqa bir qatar túsinikler qáliplesedi. Ápiwayı máselelerdi shesha alıw oqıwı oqıwshılardıń quramalı máselelerdi sheshiw oqıwın iyelewlerinde tayarlıq basqıshı boladı, sebebi quramalı. máselelerdi sheshiw qatar ápiwayı máselelerdi sheshiwge keltiriledi. Ápiwayı máselelerdi sheshayotganda másele menen jáne onıń strukturalıq bólimleri menen birinshi bar tanıwıladi. Ápiwayı máselelerdi sheshiw munasábeti menen oqıwshılar másele ústinde islewdiń tiykarǵı usılların iyeleydiler. Usınıń sebepinen oqıtıwshı hár bir túrdegi ápiwayı máseleler ústinde qanday jumıs aparıwdı biliwi júdá zárúrli bolıp tabıladı.
Daslep, ápiwayı máselelerdiń klassifikatsiyasini qaray shıǵamız.
Klassifikatsiyalash (klassifikaciyalaw ) - bunda zat hám hádiyselerdi qandayda bir belgisine qaray olardı gruppalarǵa ajratıladı.
Zat hám hádiyselerdi klassifikaciyalaw ádetde olardıń qandayda bir tiykarǵı - belgi, ózgesheliklerine qaray alıp barıladı. Biz oqıwshılarǵa “Úshmúyeshliktiń túrlerin aytıń” degen soraw bergenimizde olar toqtalmasnen “Úshmúyeshlikler teń yonli, tuwrı múyeshli hám ótkir múyeshtegi boladı” yamasa «Tuwrı múyeshli, ótkir múyeshtegi hám teń tárepli boladı» degen juwaptı berediler. Kórinip turıptı, olda, úshmúyeshliklerdi bunday klassifikaciyalawda tiykar itibarǵa alınbaǵan, yaǵnıy úshmúyeshliklerdi qanday tıykarǵa kóre klassifikaciyalanıp atır.
Ekenin aytıw kerek, úshmúyeshlikler múyeshlerine kóre ótkir múyeshtegi, tuwrı múyeshli hám topır múyeshtegi; táreplerine kóre bolsa, túrli tárepli hám teń yonli boladı (teń tárepli úshmúyeshlik teń yonli úshmúyeshliktiń menshikli holi bolıp esaplanadı ).
Ápiwayı máselelerdi olardı sheshiwde atqarılatuǵın arifmetik ámellerge muwapıq gruppalarǵa ajıratıw múmkin. Biraq metodika kózqarasınan basqasha klassifikatsiyalash: máselelerdi, olardı sheshilish processinde qáliplesetuǵın túsiniklerge muwapıq túrde gruppalarǵa bolıw qolaylı esaplanadı. Bunday gruppalarnen ush ajıratıw múmkin. Olardıń hár birin xarakterleymiz. Birinshi gruppaǵa sonday ápiwayı máseleler kirediki, olardı sheshiw dawamında balalar hár
bir arifmetik ámelniń konkret mánisin ózlestirediler, yaǵnıy olar jıynaqlar ústindegi ol yamasa bul ámelge qaysı bir arifmetik ámel sáykes keliwin ózlestirediler. Bul gruppada besew másele bar:
1) Eki sannıń jıyındısın tabıw.
Qızsha 3 úlken tabaq hám 2 kishi tabaq yuvdi. Qızsha jámi neshe tabaq yuvdi?
2) Qaldıqtı tabıw.
Oqıwshılar 6 qus ini yasadilar. Eki inni olar terekke ilib qoydılar. Olar taǵı neshe inni terekke ilishlari kerek?
3) Birdey qosıluvchilarnıń yigindisini (kóbeymesin ) tabıw.
Saqıy dápterdiń xar bir qatlamaǵa ekinen súwret chizdi. Eger ol ush betke súwret chizgan bolsa, hámmesi bolıp neshe súwret chizgan?
4) Teń bóleklerge ajıratıw.
Salima 8 almanı 4 tabaqǵa teńdeyden etip qoydı. Xar bir tabaqǵa nesheden alma qoyılǵan?
5) Mazmunı boyınsha bolıw.
Oqıwshılardıń hár bir toparı 8 tupnen alma nálini tagini yumshatdi, jámi 24 top alma nálinıń tagi yumshatildi. Bul jumıstı oqıwshılardıń neshe toparı atqarǵan?
Ekinshi gruppaǵa sonday ápiwayı máseleler kirediki, olardı sheshiw dawamında oqıwshılar arifmetik ámellerdiń komponentleri hám nátiyjeleri arasındaǵı baylanısıwdı ózlestirediler. Bular gápine belgisiz komponentlerdi tabıwǵa tiyisli máseleler kiredi.
1) Málim jıyındı hám málim ekinshi qosılıwshı boyınsha birinshi qosıluvchini tabıw.
Qızsha bir pyechta úlken tabaq hám 2 kishi tabaq, jámi 5 tabaq yuvdi, Qızsha neshe úlken tabaq yuvgan?
2) Málim jıyındı hám málim birinshi qosılıwshı boyınsha ekinshi qosıluvchini tabıw.
Qızsha 3 qatta tabaq hám bir neshe kishi tabaq yuvdi. Ol jámi 5 tabaq
yuvdi. Qızsha neshe kishi tabaq yuvgan?
3) Málim alınıwshı hám málim ayırma boyınsha kamayuvchini tabıw. Oqıwshılar bir neshe qus ini yasadilar. Oqıwshılar 2 ta inni terekke ilganlarinen keyin, olarda taǵı 4 ın qaldı. Oqıwshılar neshe ın jasaǵanlar?
4) Málim kamayuvchi hám málim ayırma boyınsha alınıwshın tabıw.
Balalar 6 qus ini yasadilar. Balalar bir neshe inni terekke ilganlarinen keyin, olarda taǵı 4 ın qaldı. Balalar terekke neshe inni ilganlar?
5) Málim ko'paytma va ma'lum yekinshi ko'paytuvchi bo'yicha birinshi kópaytuvchini tabıw.
Belgisiz sannı 8 ge kópaytirib, 32 payda etindi. Belgisiz sannı tabıń.
6 ) Málim kóbeytpe hám málim birinshi ko'paytuvchi boyınsha ekinshi kópaytuvchini tabıw.
9 ni belgisiz sanǵa kópaytirib, 27 payda etdiler. Belgisiz sannı tabıń.
7) Málim bóliwshi hám málim bólindi boyınsha bóliniwshin tabıw. Belgisiz sannı 9 ǵa bolıp, 4 ni payda etdiler. Belgisiz sannı tabıń.
8) Málim bóliniwshi hám málim bólindine kóre bóliwshin tabıw.
24 ni belgisiz sanǵa bolındı hám 6 payda etindi. Belgisiz sannı tabıń.
Úshinshi gruppaǵa shupday ápiwayı máseleler kirediki, olardı sheshiw waqtında arifmetik ámellerdiń jańa mánisi ashıladı. Bular gápine ayırma túsinigi menen baylanıslı bolǵan ápiwayı máseleler (6 tur) hám koefficient menen baylanıslı bolǵan ápiwayı máseleler (6 tur) kiredi.
1) Sanlardı ayırmalı salıstırıwlaw yamasa eki san ayırmasın tabıw (1 tur).
Qurıwshılar bir úydi 10 háptede, ekinshi úydi bolsa 8 háptede qurdilar, birinshi úydi qurıwǵa neshe hápte artıq sarp etiw etdiler?
2) Sanlardı ayırmalı salıstırıwlaw yamasa eki san ayırmasın tabıw (II tur). Qurıwshılar bir úydi 10 háptede, ekinshi úydi bolsa 8 háptede qurdilar.
Ekinshi úydi qurıwǵa neshe hápte kem sarp etiw etildi?
3) Sannı bir neshe birlik arttırıw (tikkeley forma ).
Bir úydi 8 háptede qurdilar, ekinshi úydi qurıwǵa bolsa birinshiden 2 hápte kóp sarp etiw etildi. Ekinshi úydi qurıwǵa neshe hápte sarp etiw etilgen?
4) Sannı bir neshe birlik arttırıw (tikkeley forma ).
Bir úydi qurıwǵa 8 hápte sarp etiw etildi, bul ekinshi úydi qurıwǵa sarp etiw etilgeninen 2 hápte kem. Ekinshi úydi qurıwǵa neshe hápte sarp etiw etilgen?
5) Sannı bir neshe birlik kemeytiw (tikkeley forma ).
Bir úydi qurıwǵa 10 hápte sarf etildi, ekinshi úydi bolsa bunnan 2 hápte tezirek qurıwdı. Ekinshi úydi neshe hápte qurıwǵan?
6 ) Sannı bir neshe birlik kemeytiw (tikkeley bolmaǵan forma ).
Bir uyni qurishga 10 hafta sarflandi, bu yekinshi uyni qurishga jumsalǵanınan 2 hápte kóp. Ekinshi úy neshe hápte qurılǵan?
Koefficient túsinigi menen baylanıslı máselelerdi sanap ótemiz.
1) Sanlardı márteli salıstırıwlaw yamasa eki sannıń qatnasın tabıw (I tur).
Nargiza 32 matematika hám 8 jazıw dápteri satıp aldı. Jazıw dápterden neshe ret kóp matematika dápter satıp alınǵan?
2) Sanlardı márteli salıstırıwlaw yamasa eki sannıń qatnasın tabıw (II tur).
Nargiza 32 matematika hám 8 jazıw dápteri satıp aldı. Matematika dápterine qaraǵanda neshe ret kem jazıw dápterler satıp alınǵan?
3) Sannı bir neshe ret arttırıw (tikkeley forma ).
Nargiza 8 jazıw dápteri satıp aldı. Matematika dápterinen jazıw dápterine qaraǵanda 4 ret kóp satıp alındı. Nargiza neshe matematika dápteri satıp alǵan?
4) Sannı bir neshe ret arttırıw (tikkeley bolmaǵan forma ).
Nargiza 8 jazıw dápteri satıp aldı, bular matematika dápterine qaraǵanda 4 ret kem. Nargiza neshe matematika dápteri satıp alǵan?
5) Sannı bir neshe ret kemeytiw (tikkeley forma ).
Nargiza 32 matematika dápteri satıp aldı, jazıw dápterinen bolsa bunnan úsh ret kem satıp aldı. Nargiza neshe jazıw dápteri satıp alǵan?
6 ) Sannı bir neshe ret kemeytiw (tikkeley bolmaǵan forma ).
Nargiza 32 matematika dápteri satıp aldı, bular jazıw dápterlerge qaraǵanda 4 ret kóp. Nargiza neshe jazıw dápteri satıp alǵan?
Bul jerde ápiwayı máselelerdiń tek tiykarǵı túrleri keltirildi. Biraq ápiwayı máseleler juda xilma-qıylı bolıp, ular bu túrler menen tamamlanmaydi. Ápiwayı máselelerdi kiritilish tártibi programma materialı mazmunına boysunadı. I klassta qosıw hám ayırıw ámelleri uyreniledi hám sol munasábet menen qosıw hám ayırıwǵa tiyisli ápiwayı máseleler qaraladı. II klassta kóbeytiw hám bolıw ámelleri úyreniliwi munasábeti menen bul ámellerge tiyisli ápiwayı máseleler kiritiledi.
Joqarıda belgilengeni sıyaqlı, arifmetik ámellerdiń konkret mánisin ashıp beretuǵın máseleler gápine jıyındın, qaldıqtı, kóbeytpeni tabıwǵa tiyisli, mazmunına qaray bolıwǵa tiyisli hám teń bóleklerge bolıwǵa tiyisli máseleler tiyisli boladı.
Jıyındın hám qaldıqtı tabıwǵa tiyisli máseleler balalar dus keletuǵın dáslepki máseleler bolǵanı ushın bul máseleler ústinde islew qosımsha qıyınshılıqlar menen baylanıslı. Bunda oqıwshılar másele jáne onıń bólimleri menen tanısadılar, sonıń menen birge, másele ústinde islewdiń birpara ulıwma usılların ózlestirediler. Jıyındı hám qaldıqtı tabıwǵa tiyisli máseleler bir waqtıniń ózinde kiritiledi, sebebi qosıw hám ayırıw ámelleri bir waqıtta kiritiledi; bunnan tısqarı, bul máselelerdi keri qoyılǵanda, olardı sheshiw uquvi jaqsılaw qáliplesedi. Jıyındı hám qaldıqtı tabıwǵa tiyisli máselelerdi sheshiwge tayarlıq - bul jıynaqlar ústinde ámeller orınlaw bolıp tabıladı. Ulıwma elementleri bolmaǵan eki jıynaqtı birlestiriw hám jıynaqtıń bólegin shıǵarıw. Jıynaqlardı birlestiriw ámeli qosıw ámeline, jıynaqtıń bólegin shıǵarıw bolsa ayırıw ámeline muwapıq keliwin balalar jaqsı ózlestiriwleri kerek. Jıynaqlar ústinde ámellerdi orınlaw boyınsha tapsırmalardı tayarlıq dáwirinde hám birinshi onlıq sanların nomerlewdi úyreniw dáwirinde kirgiziw kerek. Bul tapsırmalar forması boyınsha máseleden parq etpeydi, lekin ámeliy atqarıladı. Mısalı, oqıtıwshı tómendegi máseleni oqıydı : «Bala 3 qızıl, sheńbershe hám 1 kók sheńbershe qirqdi. Bala hámmesi bolıp neshe sheńbershe qirqqan? » Balalar parta ústine aldın 3 qızıl sheńbershe, keyininen 1 kók sheńbershe qóyadılar ; olardı birlestiradilar hám nátiyjeni sanaw jolı menen tabadılar. Oqıtıwshı olar 3 ke birni qosıp, 4 payda etganliklarini kórsetedi. Balalar tákirarlaydilar. Bunday shınıǵıwlarnen bir neshe orınlanǵanınan keyin «qo'shish» (plus), «hosil boladı» (teń) belgiler hám qirqma nomerlerde bul jazıw kiritiledi:
3+1=4.
Bul tayarlıq shınıǵıwları túrli turmıslıq jaǵdaylardı óz ishine alıwı júdá zárúrli.
a) Qızchada 4 reńli qálem bar edi. Ájaǵası taǵı 2 qálem sıy etdi. Qızchada jámi neshe qálem boldı?
b) Bir akvariumda 3 balıqcha, ekinshi akvariumda 4 balıqcha bar edi. Eki akvariumda neshe balıqcha bar?
Balalardı máseleler sheshiwde ámellerdi predmetlerge tayanmasnen tańlawǵa tayarlaw maqsetinde hár gezek tómendegi munasábetlerdi oydinlashtirish kerek: taǵı 1 sheńbersheni qosıp qoyılǵanda (taǵı 2 qálem sıy etilgende hám h. k.) olardıń jámi sanı arttı. Sonday eken, qosqanımızda ortar eken. Balalar bul munasábetti jaqsı ózlestiriwleri ushın tómendegi másele sorawlardı beriw paydalı :
a) Xanada 4 stul turǵan edi, taǵı 2 stul alıp kelindi. Stullar kóbeydime yamasa kamaymadimi?
b) Shoxda 5 shımshıq otırǵan edi. Shoxda otırǵan shımshıqlardıń sanı artpaqtası (azayıwı ) ushın ne júz beriwi kerek?
Bunday tapsırmalardıń orınlanıwı, bir tárepden, balalar jıynaqlardı birlestiriw ámeli qosıw ámeline sáykes keliwin ózlestiriwlerine járdem beredi, ekinshi tárepden bolsa balalar tómendegi munasábetti ózlestirediler. Eger qosıwǵan bolsa, sonday eken arttı, bul bolsa keyinirek jıyındın tabıwǵa tiyisli máselelerdi sheshiwde tiykar bolıp xizmet etiwi kerek. Qaldıqtı tabıwǵa tiyisli máselelerdi sheshiwge tiyisli tayarlıq jumısı tap sonday ótkeriledi.
Jıyındın hám qaldıqtı tabıwǵa tiyisli máselelerdiń sheshilishlari menen tanıstırayotganda jaqsısı dáslepki máselelerdi tayın halda bermesten, olardı balalardıń ózleri menen birgelikte dúzgen maqul. Bul basqıshda kórgezbeli qurallarnen ıqtıyat bolıp paydalanıw kerek. Máselede gáp ketip atırǵan obiektti hám obiektler ústindegi ámellerdi illyustratsiya qılıw kerek, ızlenip atırǵan zat bolsa
«berkitilgan» bolıwı kerek; keri jaǵdayda balalar obiektlerdi sanap juwaptı tapa berediler hám ámeldi tańlawǵa zárúrat qalmaydı.
Qaldıqtı tabıwǵa tiyisli másele ústinde islew de sonday alıp barıladı.
Keyininen tayın máseleler aldın oqıtıwshı baslıqlıǵında, keyin bolsa garezsiz sheshiledi. Tájiriybe sonı kórsetdiki, birinshi klass oqıwshıları máseleden sanlı maǵlıwmatlardı hám sorawdı ajıratıp alıwǵa qiynaladilar. Sol sebepli eń basınenoq, balalarda másele ústinde islew ulıwma usıllarınıń qáliplesiwi haqqında oylaw kerek. Sol munasábet menen qaralayotgan hám basqa túrdegi ápiwayı máseleler ústinde islewdiń tómendegi metodikası ózin tolıq oqladi. Daslep, oqıtıwshı (keyin bolsa oqıwshılar ) máseleni oqıydı, oqıwshılar onı tolıq qabıl etediler. Oqıtıwshı yamasa balalar máseleni qayta oqıǵanda oqıwshılar máseledegi sanlı maǵlıwmatlardı ańlatatuǵın nomerlerdi parta ústine qóyadılar, ızlenip atırǵan sannı soraw belgii menen belgileydiler (keyin sanlı maǵlıwmatlardı hám ızlenip atırǵan sannı dápterlerine jazadılar ). Bul sanlı maǵlıwmatlardı hám sorawdı ajıratıw procesiniń ózi bolıp tabıladı. Keyininen oqıwshılar hár bir san neni kórsetiwin túsintirediler hám másele sorawın aytadılar. Bunda másele shárti hám sorawı anglanadi. Qıyın balalarǵa máselede ne haqqında gáp ketip atırǵanın oyda sawlelendiriw etip kóriwdi hám neni oyda sawlelendiriw etkenlerin aytıp beriwleri usınıs etiledi, bul balalardıń tiyisli arifmetik ámeldi tuwrı tańlawlarına alıp keliwi kerek. Endigiden juwapda qanday san. Berilgen sanlardıń qaysı bolıp tabıladı birinen úlken yamasa kishi san payda bolishini oylap kóriw hám aytıw usınıs etiledi, bul da ámeldi tuwrı tańlawǵa járdem beredi. Endi balalarǵa másele sheshiletuǵın ámeldi aytıwdı, onı awızsha orınlawdı yamasa dápterge jazıwdı usınıw múmkin. Keyin másele sorawına juwap bayanlainadi hám balalar jazıwǵa úyrengenlerinen keyin jazıladı. Juwaptı qısqa jazıw, awızsha keń bayanlaw yamasa sheshilishda tiyine sızıp qoyıw múmkin.
Eger máselelerdi sheshiwde oqıwshılar sol kórsetilgen tapsırmalardı qatiy belgilengen tártipte kóp ret atqarsalar, ol halda olarda másele ústinde usı tapsırmalarǵa muwapıq túrde islew usılı ólpeń qáliplesedi. Bul bolsa kelesinde balalar máselelerdi ǵárezsiz hal ete alıwlarına múmkinshilik beredi.
Dáslepki tayın máselelerdi sheshayotganda balalar másele jáne onıń Sheshiliwine tiyisli terminologiyani ózlestiriwleri ústinde islewdi dawam ettiriw kerek. Sol maqsette tómendegi shınıǵıwlardı kirgiziw paydalı, máseleni sheship bolǵannen keyin
stol aldına tórt oqıwshın shaqırıw kerek, olarnen biri «másele shárti» sózlerin aytadı hám shártni tariyplaydi; ekinshi oqıwshı «másele sorawi» sózlerin aytadı hám sorawdı aytadı, úshinshi oqıwshı «máselenıń Sheshilishi» sózlerin aytadı, keyininen sheshilishni aytadı, tórtinshi oqıwshı «javob» sózin aytadı hám juwaptı ańlatadı, túrli sabaqlarda sol sıyaqlı bir neshe shınıǵıw qılıw nátiyjesinde terminler balalar tárepinen ózlestiriledi.
Oqıtıwshı yamasa balalar máseleni qayta oqıǵanda oqıwshılar máseledegi sanlı maǵlıwmatlardı ańlatatuǵın nomerlerdi parta ústine qóyadılar, ızlenip atırǵan sannı soraw belgii menen belgileydiler (keyin sanlı maǵlıwmatlardı hám ızlenip atırǵan sannı dápterlerine jazadılar ). Bul sanlı maǵlıwmatlardı hám sorawdı ajıratıw procesiniń ózi bolıp tabıladı.
Keyininen oqıwshılar hár bir san neni kórsetiwin túsintirediler hám másele sorawın aytadılar. Bunda másele shárti hám sorawı anglanadi. Keyin balalarǵa máselede ne haqqında gáp ketip atırǵanın oyda sawlelendiriw etip kóriwdi hám neni oyda sawlelendiriw etkenlerin aytıp beriwleri usınıs etiledi, bul balalardıń tiyisli arifmetik ámeldi tuwrı tańlawlarına alıp keliwi kerek. Endigiden juwapda qanday san berilgen sanlardıń qaysı bolıp tabıladı birinen úlken yamasa kishi san payda bolishini oylap kóriw hám aytıw usınıs etiledi, bul da ámeldi tuwrı tańlawǵa járdem beredi. Endi balalarǵa másele sheshiletuǵın ámeldi aytıwdı, onı awızsha orınlawdı yamasa dápterge jazıwdı usınıw múmkin. Keyin másele sorawına juwap bayanlainadi hám balalar jazıwǵa úyrengenlerinen keyin jazıladı. Juwaptı qısqa jazıw, awızsha keń bayanlaw yamasa sheshilishda tiyine sızıp qoyıw múmkin. Eger máselelerdi sheshiwde oqıwshılar sol kórsetilgen tapsırmalardı qatań belgilengen tártipte kóp ret atqarsalar, ol halda olarda másele ústinde usı tapsırmalarǵa muwapıq túrde islew usılı ólpeń qáliplesedi. Bul bolsa kelesinde balalar máselelerdi ǵárezsiz hal ete alıwlarına múmkinshilik beredi. Dáslepki tayın máselelerdi sheshayotganda balalar másele jáne onıń Sheshiliwine tiyisli terminologiyani ózlestiriwleri ústinde islewdi dawam ettiriw kerek. Sol maqsette tómendegi shınıǵıwlardı kirgiziw paydalı : máseleni sheship bolǵannen keyin stol aldına tórt oqıwshın shaqırıw kerek: olarnen biri «másele shárti» sózlerin aytadı hám shártni tariyplaydi; ikkipchi oqıwshı «másele sorawi» sózlerin aytadı hám sorawdı aytadı ; úshinshi oqıwshı «máselenıń Sheshilishi» sózlerin aytadı, keyininen sheshilishni aytadı ; tórtnnchi oqıwshı «javob» sózin aytadı hám juwaptı ańlatadı, túrli sabaqlarda sol sıyaqlı bir neshe shınıǵıw qılıw nátiyjesinde terminler balalar tárepinen ózlestiriledi.
Balalar ámeldi qıyalları boyınsha, bolıw nátiyjesin bolsa kóbeytiw kesteinen tabıwǵa úyrengenlerinen keyin, bolıwǵa tiyisli máselelerdi sheshiwdi kórsetpe qurallarǵa tayanmasnen orınlawı múmkin. Mektep jumısları tájiriybesinde máseleler sheshiwde teń bóleklerge bolıwǵa tiyisli máseleni mazmunı boyınsha bolıwǵa tiyisli máseleler menen aralastırıp jiberiletuǵın qáteler dús keliwi baqlanadı. Bulardıń aldın alıw ushın tayarlıq shınıǵıwların ótkeriwden baslapoq, olardı birgelikte, mazmunı boyınsha bolıwǵa tiyisli bir shınıǵıw, teń bólekke bolıwǵa tiyisli bir shınıǵıw kirgizgen paydalı. Usınıń menen birge juwaptıń keńeytirilgen bayanın beriw talap etiledi.
Birinshi basqısh ámellerdiń belgisiz komponentasini tabıwǵa tiyisli máseleler I klassta, II basqısh ámellerniig belgisiz komponentalarini tabıwǵa tiyisli máseleler bolsa II klassta kiritiledi. Bunday máselelerdi sheshiw dawamında oqıwshılar arifmetik ámellerdiń komponentalari hám nátiyjeleri arasındaǵı baylanısıw haqqındaǵı bilimlerdi ózlestirediler.
Keyininen konkret mazmunli máseleler kiritiledi, mısalı : «Qızsha arsha aǵashı ushın 4 kók, bir neshe qızıl, jámi 7 juldızsha yasadi. Qızsha neshe qızıl juldızsha jasaǵan? »
Sheshiw usılın ulıwmalastırayotganda tómendegi máseleler ushlıgini kirgiziw paydalı : jıyındın, belgisiz birinshi qosıluvchini, ekinshi qosıluvchini tabıwǵa tiyisli máseleler. Sheshiwden keyin máselelerdiń ózlerin hám sheshilishlarini salıstırıwlaw kerek. Belgisiz kamayuvchi hám alınıwshın tabıwǵa tiyisli máseleler ústinde islew de joqarıda -giga uqsas alıp barıladı. Belgisiz kópaytuvchi, bóliniwshi hám bóliwshin tabıwǵa tiyisli máseleler tek abstrakt sanlar menen beriledi. Sheshiw teńleme dúziw jáne onı qaǵıyda boyınsha sheshiwge keltiriledi.