Diferensial hesabın əsas teoremləri

Sumqayıt Dövlət Universiteti

Tələbə: Mirzəliyeva Nəzrin

Qrup: 852
İxtisas: Tarix və coğrafiya müəllimi
Fənn: Riyaziyyat
Mövzu: Diferensial hesabın əsas teoremləri
Müəllim: Nəsirova Leyla

BAKI – 2022

Diferensial hesabın əsas teoremləri
Roll teoremi. Əgər funksiyası parçasında kəsilməzdirsə, həmin parçanın bütün daxili nöqtələrində diferensiallana biləndirsə və parçanın uclarında sıfra çevrilirsə , onda parçasının daxilində heç olmasa elə bir x₌c nöqtəsi var ki, həmin nöqtədə törəməsi sıfra çevrilir, yəni , .
İsbatı. funksiyası parçasında kəsilməz olduğu üçün, onun həmin parçada ən böyük M və ən kiçik m qiymətləri var.
Əgər M₌m olarsa, sabitdir, yəni arqumentin bütün qiymətlərində funksiya eyni bir qiymət alır. Belə olduqda isə parçanın bütün nöqtələrində olar və teorem isbat olunar.
İndi fərz edək ki, Onda bu ədədlərdən heç olmasa biri sıfır deyil. Müəyyənlik üçün olduğunu və funksiyanın bu qiyməti x₌c nöqtəsində aldığını qəbul edək, yəni . Qeyd edək ki, c ədədi nə a və nə də b ədədinə bərabər deyildir (çünki şərtə əsasən ).
ədədi funksiyanın ən böyük qiyməti olduğundan, istər və istərsə olduqda olmalıdır.
Buradan olduqda , ( )
olduqda ( )
alınar. Teoremin şərtinə əsasən x ₌ c nöqtəsində törəmə vardır, ona görə də şərtində limitə keçsək
olduqda , olduqda
alarıq.
Digər tərəfdən və münasibətləri yalnız olduqda uyuşa bilərlər. Deməli, parçasında elə c nöqtəsi var ki, həmin nöqtədə sıfra bərabərdir. Teorem isbat olundu.
Qeyd. parçasının uclarında sıfra çevrilməyən, lakin bərabər qiymətlər alan diferensiallana bilən funksiyalar üçün də isbat etdiyimiz teoremin hökmü doğrudur.
Laqranj teoremi. Əgər funksiyası parçasında kəsilməz və bu parçanın bütün daxili nöqtələrində diferensiallana biləndirsə, onda parçasının daxilində ən azı elə bir c nöqtəsi tapılar ki,
, (2)
olar.
İsbatı. parçasında
(3)
bərabərliyi ilə təyin olunmuş köməkçi F(x) funksiyasına baxaq. Asanlıqla görmək olar ki, F(x) funksiyası: 1) parçasında kəsilməzdir (kəsilməz f(x) və xətti funksiyaların fərqi kimi); 2) parçasının daxilində diferensiallanandır
;
3) parçanın uclarında sıfra çevrilir, yəni F(a) ₌ 0, F(b) ₌ 0.
Deməli, F(x) funksiyasına Roll teoremini tətbiq etmək olar. Bu teoremə əsasən parça daxilində elə bir x₌c nöqtəsi var ki, , yəni

Buradan alırıq ki,

Teorem isbat olundu.
Koşi teoremi. Tutaq ki, f (x) və g(x) funksiyaları parçasın­da kəsilməz və onun bütün daxili nöqtələrində diferensiallana biləndirlər, bundan başqa törəməsi parçanın heç bir daxili nöqtəsində sıfra çevrilmir. Onda parçasının daxilində elə bir c nöqtəsi tapılar ki,
, (3)
olar.
İsbatı. Əvvəlcə qeyd edək ki, çünki əks halda g(b) və g(a) bərabər olar, onda Roll teoreminə əsasən parçanın daxilində elə bir c nöqtəsi var ki, . Bu isə teoremin şərtinə ziddir.
Köməkçi funksiya düzəldək

Asanlıqla görmək olar ki, F(x) funksiyası parçasında Roll teoreminin bütün şərtlərini ödəyir. Doğrudan da, F(x) -da kəsilməzdir, (a, b)-da diferensiallanandır və . Ona görə də a və b ədədləri arasında elə bir x₌c nöqtəsi var ki, ( ). Digər tərəfdən

Deməli,

olduğunu nəzərə alsaq buradan (4) düsturunu alarıq.

Ədəbiyyat siyahısı

1. R. Məmmədov. Ali riyaziyyat kuru, I hissə, «Maarif», Bakı, 1978., II hissə 1981, III hissə 1984.
2. Məsimova S.N. Ali riyaziyyatın əsasları. Bakı, Yeni Nəsil, 2006.
3. Piskunov N.S. Diferensial və inteqral hesabı. Bakı. Maarif, I,II c., 1965.