İkinci növ əyrixətli inteqralin mexaniki mənası və inteqrallama üsulundan asılı olmaması

İkinci növ əyrixətli inteqralin mexaniki mənası və inteqrallama üsulundan asılı olmaması.

Ədəd oxunun parçasında təyin olunmuş funksiyaların müəyyən inteqralına baxılır. Bir çox praktiki məsələlərinin həlli isə müəyyən əyri parçasında təyin olunmuş funksiyalar üçün yeni inteqral anlayışının verilməsini tələb edir. Belə inteqrallar əyrixətli inteqrallar adlanır. İki növ əyri xətli inteqral vardır.

Müxtəlif müstəvi və ya fəza əyriləri üzrə götürülmüş əyrixətli inteqrallara baxaq.

Tutaq ki,   parçasında kəsilməyən   və   funksiyaları fəzada   əyrisini təyin edir:

   (1)

Bu o deməkdir ki, t parametrinin   parçasındakı bütün qiymətlərində alınan   nöqtələri çoxluğu əyrisini təşkil edir.

(1) münasibəti fəza əyrisinin parametrik tənliyi adlanır. (1) tənlikləri əyrisini təkcə nöqtələr çoxluğu kimi təyin etmir, həm də onun istiqamətini, yəni nöqtələrin əyri üzərində yerləşmə ardıcılığını təyin edir. Parametrin   qiymətləri verildikdə, deyirlər ki, əyrinin  ()  nöqtəsi  ()  nöqtəsindən sonra gəlir. T parametri a-dan b-yə kimi bütün qiymətləri alaraq kəsilməz dəyişdikdə, 

nöqtəsi əyrinin başlanğıc A nöqtəsindən son B nöqtəsinə kimi bütün əyri üzrə.

hərəkət edir (şəkil 1).
 Şəkil – 1

Əyri üzərində t parametrinin artmasına uyğun olan istiqamət müsbət, azalmasına uyğun olan istiqamət isə mənfi hesab olunur. Bu halda parametrin

t = a qiymətində alınan   nöqtəsi əyrinin baçlanğıc nöqtəsi, t = b qiymətində alınan   nöqtəsi isə son üç nöqtəsi alınır. Əyri üzərində ox işarəsi onun müsbət istiqamətini göstərir.

Üzərində istiqamət təyin olunan əyriyə istiqamətlənmiş əyri deyilir.

Ola bilər ki, parametrin bir neçə müxtəlif qiymətinə əyrinin eyni bir nöqtəsi uyğun olsun. Məsələn, t parametrinin   qiymətlərində   olduqda əyrinin  ()  və  ()  nöqtələri üst-üstə düşür, yəni bü nöqtədə əyri özü-özünü kəsir. Əyrinin başlanğıc A nöqtəsi və son B nöqtəsi üst-üstə düşdükdə ona qapalı

əyri deyilir.

Məlumdur ki,   parçasında kəsilməyən (1) funksiyalarının verilməsi bir skalyar arqumentli

 (2)

vektor funksiyasının verilməsinə ekvivalentdir. Onda   əyrisinin vektorial göstərişi olar. Bunu   kimi yazılır. Hamar vektor funksiya, yəni   parçasında sıfra çevrilməyən kəsilməz törəməsi olan   vektor funksiyası vasitəsilə göstərilən əyriyə hamar əyri deyilir. Hamar   əyrisinin hər bir nöqtəsində toxunanı var və   vektoru həmin toxunanla eyni istiqamətdə (parametrin artmasına uyğun olan istiqamətə) yönəlmişdir. Buna görə də

 (3)

vahid vektoru əyrisinin toxunanı üzərində yerləşir və onun istiqaməti parametrin artmasına uyğun olan istiqamətin eynidir. Beləliklə, (3) vahid vektoru əyrisinin müsbət istiqamətini,   isə mənfi istiqaməti təyin edilir.

olduğundan

və

olar. Sağ tərəfdəki ifadə əyrisi qövsunun diferensialıdır:

.

Tutaq ki, əyrisinin istiqamətini təyin edən vahid vektorunun yönəldici bucağları   və -dır. Onda vahid vektorun

və (3) bərabərliyindən alınan

kimi iki göstərilişi olar. Buradan

 (4)

alınır.

Tutaq ki, qapalı əyridir. Özü-özünə kəsməyən qapalı əyri kontur adlanır. Tutaq ki, konturu oblastının sərhədidir (şəkil 2).

 Şəkil – 2

konturu üzrə hərəkət etdikdə konturun əhatə etdiyi oblastı solda qalırsa, həmin istiqamət müsbət, əks istiqamət isə mənfi hesab olunur. Müsbət istiqamətli konturu   (çox zaman sadəcə ilə), mənfi istiqamətli konturu isə   ilə işarə edillər. Konturun müsbət və mənfi istiqamətləri şəkildə göstərilmişdir.