İxtisas: 50407 – Marketinq Qrup: Mq23. Fənn

Azərbaycan Respublikasının Elm və Təhsil Nazirliyi
Mingəçevir Dövlət Universiteti

Fakültə: İqtisadiyyat və idarəetmə
Kafedra: Sənayenin təşkili və idaretmə
İxtisas: 050407 – Marketinq
Qrup: Mq23.1
Fənn: Xətti cəbr və
Tələbə: İsmayılov Cavidan


SƏRBƏST İŞ

Mingəçevir 2023
Bircins diferensial tənliklər

Bircins diferensial tənliklər anlayışı bircins funksiyalar anlayışı ilə bağlıdır.

𝑃(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑎𝑖,𝑗𝑥 𝑖 𝑖,𝑗 𝑦 𝑗 funksiyası o zaman 𝑛 tərtibli bircins funksiya adlanır ki, onun hədləri bircins olsun.


Tərif 1. ∀𝑘 üçün 𝑃(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) ≡ 𝑘 𝑛𝑃(𝑥, 𝑦) olarsa 𝑃(𝑥, 𝑦) funksiyasına 𝑛 tərtibli bircins funksiya deyilir.


Məsələn: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 5𝑦 3 funksiyası üç tərtibli bircins funksiyadır.
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = (𝑘𝑥) 3 − 3𝑘𝑥 ∙ (𝑘𝑦) 2 + 5(𝑘𝑦) 3 = = 𝑘 3 (𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 5𝑦 3 ) = 𝑘 3𝑓(𝑥, 𝑦). 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0


Tərif 2. Əgər 𝑥, 𝑦 dəyişənlərinin diferensiallarlndakı 𝑃(𝑥, 𝑦) və 𝑄(𝑥, 𝑦) funksiyaları eyni tərtibli bircins funksiyalardırsa, onda diferensial tənliyi bircins diferensial tənlik adlanır.
İsbat etmək olar ki, 𝑧 − 𝑥-dən asılı yeni funksiya olduqda 𝑧 = 𝑦 𝑥 əvəzləməsi ilə tənliyini dəyişənlərinə ayrıla bılən diferensial tənliyə gətirmək olar.Tutaq ki, tənliyi
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
şəklində yazılmışdır və ya 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 ; 𝑑𝑦 −əmsalı birdir, yəni sıfır tərtibli bircins funksiyadır, onda 𝑓(𝑥, 𝑦) də sıfır tərtiblı bircins funksiyadır.Tənliyinin sağ tərəfi 𝑓(𝑥, 𝑦) sıfır tərtibli bircins funksiya olduqda bircins adlanır. Bircins diferensial tənliyi

şəklində yazmaq olar. 𝑧 yeni funksiya olduqda 𝑦 = 𝑥𝑧 əvəzləməsi aparaq.
𝑦 = 𝑥𝑧-i diferensiallayaraq alırıq:
= 𝑧 + 𝑥 ; 𝑦 və 𝑦 ′ -in ifadələrini 1-də yerinə yazaraq alırıq:
𝑧 + 𝑥 = 𝜑(𝑧) və ya dəyişənləri ayıraraq alırıq:

dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənlikdir.
Misal №1. (𝑥² – 𝑦² )𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 tənliyini həll edin.
Həlli.𝑦 = 𝑥𝑧 (𝑧, 𝑥-dən asılı yeni funksiyadır) əvəzləməsi aparaq.
𝑑𝑦 = 𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑧,onda tənlik belə olar:
(𝑥² – 𝑥² 𝑧²)𝑑𝑥 + x²𝑧(𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑧) = 0.
Sadələşdirdikdən sonra alırıq: 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧𝑑𝑧 = 0
və ya 𝑧𝑑𝑧 = .
Alınmış tənliyi inteqrallayaraq alırıq:
= − ln 𝑥 + ; 𝑧² = ; 𝑧 = olduğundan, =
verilmiş bircins tənliyin ümumi həllidir.
Misal № 2. 𝑦 ′ = tənliyini həll edin.
Həlli. Asanlıqla müəyyən etmək olar ki, verilmiş tənliyin sağ tərəfi sıfır ölçülü bircins funksiyadır. 𝑦 = 𝑥𝑧 ( z – x-dən asılı hər hansı funksiyadır) əvəzləməsi aparaq. Diferensiallayaraq alırıq:
𝑦 ′ = 𝑧 + 𝑥𝑧 ′ . Onda verilmiş tənlik belə olur:
𝑧 + 𝑥𝑧 ′ =
və ya
𝑧 + 𝑥𝑧 ′ = 𝑧 + 2√𝑧; 𝑥𝑧 ′ = 2√𝑧 ; = .
Dəyişənlərinə ayrıla bilən tənlik aldıq. İnteqrallayaraq alırıq:
√𝑧 = ln|𝑥| + ln 𝐶; √𝑧 = ln|𝐶𝑥|; 𝑧 = 𝑙𝑛2 |𝐶𝑥|.
𝑧 olduğundan = 𝑙𝑛²|𝐶𝑥| və ya 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛2 |𝐶𝑥|- verilmiş tənliyin ümumi həllidir.
Misal № 3. 𝑦𝑦 ′ = 2𝑦 − 𝑥 bircins tənliyini həll edin.
Həlli. 𝑦 = 𝑧𝑥 əvəxləməsi aparaq, burada 𝑧, 𝑥 dəyişənindən asılı hər hansı funksiyadır. Diferensiallayaraq alırıq: 𝑦 ′ = 𝑧 ′𝑥 + 𝑧. 𝑦 və 𝑦 ′ -in qiymətlərini verilmiş tənlikdə yerinə yazaq:
𝑧𝑥(𝑧 ′𝑥 + 𝑧) = 2𝑧𝑥 − 𝑥.
𝑧𝑥(𝑧 ′𝑥 + 𝑧) = 𝑥(2𝑧 − 1) ⇒ 𝑧(𝑧 ′𝑥 + 𝑧) = 2𝑧 − 1 ⇒ 𝑧 ′𝑥 + 𝑧 = .
𝑧 ′𝑥 = − 𝑧 ⇒ 𝑧 ′𝑥 = 𝑧 ⇒ 𝑧 ′𝑥 = .
Dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənlik aldıq.
𝑧 ′ yazaq + 𝑧 = 0 ⇒ 𝑥𝑑𝑧 + 𝑧 2 − 2𝑧 + 1 𝑧 𝑑𝑥 = 0. 𝑥 ∙ 𝑧 2−2𝑧+1 𝑧 ≠ 0 inteqrallayıcı vuruğuna bölək: 𝑑𝑧 𝑧 2 − 2𝑧 + 1 ∙ 𝑧 + 𝑑𝑥 𝑥 = 0. Aldığımız tənliyi inteqrallayaq: ∫ 𝑧𝑑𝑧 𝑧 2 − 2𝑧 + 1 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = ln 𝐶 ⇒ ∫ (𝑧 − 1 + 1) (𝑧 − 1) 2 𝑑𝑧 + ln 𝑥 = ln 𝐶. ∫ 𝑑𝑧 𝑧 − 1 + ∫ 𝑑𝑧 (𝑧 − 1) 2 + ln 𝑥 = ln 𝐶 ⇒ ln (𝑧 − 1) ∙ 𝑥 𝐶 = 1 𝑧 − 1 . (𝑧 − 1) ∙ 𝑥 𝐶 = 𝑒 1 𝑧−1 ⇒ (𝑧 − 1) ∙ 𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑒 1 𝑧−1. 𝑧 = 𝑦 𝑥 olduğunu nəzərə alsaq: ( 𝑦 𝑥 − 1) ∙ 𝑥 = 𝐶 ∙ 𝑒 1 𝑦 𝑥 −1 ⇒ 𝑦 − 𝑥 = 𝐶𝑒 1 𝑦−𝑥 𝑥 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 ∙ 𝑒 𝑥 𝑦−𝑥; Beləliklə 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 ∙ 𝑒 𝑥 𝑦−𝑥 verilmiş bircins tənliyin ümumi həllidır. Misal № 4. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦𝑦 ′ = 0 bircins tənliyini həll edin. Həlli. 𝑦 = 𝑧𝑥 əvəzləməsi aparaq, burada 𝑧, 𝑥 dəyişənindən asılı hər hansı funksiyadır. Diferensiallayaraq alırıq:
𝑦 ′ = 𝑧 ′𝑥 + 𝑧. 𝑦 və𝑦 ′ -in qiymətlərini verilmiş tənlikdə yerinə yazaq: 20 𝑥 2 + 𝑧 2𝑥 2 − 2𝑥 ∙ 𝑧𝑥 ∙ (𝑧 ′𝑥 + 𝑧) = 0. 𝑥 2 ≠ 0 ixtisar edək: 1 + 𝑧 2 − 2𝑧 ∙ (𝑧 ′𝑥 + 𝑧) = 0 ⇒ 2𝑧 ∙ (𝑧 ′𝑥 + 𝑧) = 1 + 𝑧 2 . 𝑧 ′𝑥 + 𝑧 = 1 + 𝑧 2 2𝑧 ⇒ 𝑧 ′𝑥 = 1 + 𝑧 2 2𝑧 − 𝑧 ⇒ 𝑧 ′𝑥 = = 1 + 𝑧 2 − 2𝑧 2 2𝑧 ⇒ 𝑧 ′𝑥 = 1 − 𝑧 2 2𝑧 . Dəyişənlərinə ayrıla bilən diferensial tənlik aldıq. 𝑧 ′ = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 yazaq. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 ∙ 𝑥 − 1 − 𝑧 2 2𝑧 = 0 ⇒ 𝑥𝑑𝑧 − 1 − 𝑧 2 2𝑧 𝑑𝑥 = 0. 𝑥 ( 1−𝑧 2 2𝑧 ) ≠ 0 inteqrallayıcı vuruğuna bölək: 2𝑧 1 − 𝑧 2 𝑑𝑧 − 𝑑𝑥 𝑥 = 0. İnteqrallayaraq alırıq: ∫ 2𝑧𝑑𝑧 1−𝑧 2 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = − ln 𝐶. ∫ 𝑑(𝑧 2 ) 1 − 𝑧 2 − ln 𝑥 = − ln 𝐶 ⇒ − ln(1 − 𝑧 2 ) − ln 𝑥 = − ln 𝐶. ln(1 − 𝑧 2 ) ∙ 𝑥 = ln 𝐶. 𝑧 = 𝑦 𝑥 olduğunu nəzərə alsaq: (1 − 𝑦 2 𝑥 2 ) ∙ 𝑥 = 𝐶 ⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥 2 ∙ 𝑥 = 𝐶 ⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝐶𝑥. Verilmiş bircinc tənliyin ümumi inteqralı belə olur: 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝐶𝑥.