Ko’phadning ildizi, ko’phadning karrali ildizi. K birlik elementga EGA bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin. 1-Ta’rif

Ko’phadning ildizi, ko’phadning karrali ildizi.
K birlik elementga ega bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin .
6.1-Ta’rif. Agar K Butunlik sohasini biror αelementi uchun f(α)=0 tenglik bajarilsa , u holda α element f(x) ko`phadning ildizi deyiladi .
Q maydon ustida bir nomalumli birinchi darajali f(x) = αx+b ko`phad α 0 bo`lganda ratsional sonlar to`plamida doimo ildizga ega , chunki f(- ) = -b+b=0 , yani f(- )=0 bo`ladi .
Darajasi n≥1 bo`lgan har qanday ko`phad ildizilarga ega bo`lgan kengaytama maydon doimo mavjud bo`ladi(Algebraning asosiy teoremasiga ko’ra) .
Nolinchi darajali f(x)= α 0 ko`phadni ildizi yo`q , chunki x ga qanday qiymatni bermaylik , baribir (x)= α 0 bo`ladi . biz nol ko`phadni etiborga olmaymiz , bunday ko`phad x ning har bir qiymatida nolga teng .
1-Teorema . f(x) ko`phadni x- α ikkihadga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng .
Isboti. Bo`luvchi x- α ning darajasi 1 ga teng bo`lgani uchun qoldiq r(x) yo nolinchi darajali ko`phad , yoki nol bo`lishi kerak , yani
f(x)=(x- α)h(x)+r (6.1)
bo`lib , bu tenglikda x= α desak , f(α) =r ni hosil qilamiz .
2-Teorema x= α element f(x) ko`phadning ildizi bo`lishi uchun f(x) ning x- α ikkihadga bo`linishi zarur va yetarli .
Isboti. Zaruriyligi . x= α ni f(x) ning ildizi deylik . bu holda f(α)=0 bo`ladi. 1-Teoremaga asosan f(x) ni x- α ga bo`lishdan chiqqan qoldiq f(α) ga teng . lekin f(α) =0 bo`lgani uchun r=0 dir demak , f(x) ko`phad x- α ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi .
2.Yetarliligi . f(x) ko`phad x- α ga qoldiqsiz bo`linsin :
f(x)=(x- α)h(x) , yani qoldiq r=0 bo`lsin . 1-Teoremaga ko`ra f(α) =r . bunda r=0 bo`lgani uchun f(α)=0 . Demak x= α qiymat f(x) ko`phadning ildizi ekan .
Ta’rif. Agar f(x) ko’phad ^α(x) ko’phadga bo’linib ,lekin ^α+1(x) o’phadga bo’linmasa , u holda (x) ko’phad f(x) ko’phadning karrali ko’paytuvchisi deyiladi . Bu ta’rifga asosan f(x) ko’phadni
f(x)= ^α(x)*g(x) (6.2).
Ko’rinishida yozish mumkin .Bunda g(x) ko’phad (x) ga bo’linmaydi , chunki aks holda g(x)= (x) *h(x) ifodani (6.2) ga qo’yib ushbuni hosil qilamiz:
F(x)= ^α+1(x)*h(x) .Bu esa f(x) ning ^α+1(x) ga bo’linishini ko’rsatadi .
Masalan , f(x)= X⁵+x⁴+x³-x²-x-1 ko’phad uchun (x) =x²+x+1 ko’phad ikki karrali ko’paytuvchidir. Chunki f(x) ko’phad (x²+x+1) ² ga bo’linadi .Lekin (x²+x+1)³ ga bo’linmaydi .Demak , f(x)=(x+x+1)³ (x-1)² bo’ladi.
F(x)= x⁴+2x³+2x² +3x-2
uchun (x)= x³+2x-1 bir karrali ko’paytuvchi , chunki
F(x)= (x³+2x-1) (x+2) .
F(x)=5(x²-4)⁴(2x³+x-1)³ (x+1)(x⁴-3x³+1)⁵
Ko’phad uchun ₁(x) =x²-4 ko’phad to’rt karrali ko’paytuvchi , ₂(x) =2x³+x-1 ko’phad uch karrali ko’paytuvchi , ₃(x) =x+1 bir karrali ko’paytuvchi va ₄(x) =x⁴-3x³+1 ko’phad besh karrali ko’paytuvchi ekanligi ravshan.