Kvadratik formalar Kvadrat xətti fəzada simmetrik ikixətli formaya uyğundur V

Kvadratik formalar

Kvadrat xətti fəzada simmetrik ikixətli formaya uyğundur V, bir vektor arqumentinin funksiyası adlanır

Kvadrat forma verilsin, uyğun simmetrik ikixətli forma olsun. Sonra buradan belə nəticə çıxır ki, müvafiq simmetrik ikixətli forma da kvadrat forma ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Beləliklə, xətti fəzada simmetrik ikixətli və kvadrat formalar arasında V bir-bir yazışma qurulur, buna görə də kvadrat formaları simmetrik ikixətli formalardan istifadə etməklə öyrənmək olar.

Kvadrat formanın matrisi ilə xətti fəzanın verilmiş əsasında eyni əsasda müvafiq simmetrik ikixətli formanın matrisi adlanır. Kvadrat matris həmişə simmetrikdir.

Fəzanın hansısa əsasında kvadrat formalı matrisi işarə edək. Əgər, həmişəki kimi, işarə edirik X eyni əsasda vektorun koordinat sütunudur, onda 1-ci tənlikdən kvadrat formanın matris qeydini alırıq:

. (1)

Xətti fəzada iki əsas verilsin

(3)

, (4)

və müvafiq olaraq (3) və (4) əsaslarında kvadrat formalı matrislər olsun və olsun. Sonra hara T (3)-dən (4) keçid matrisidir.

Keçid matrisi olması səbəbindən T degenerativ deyilsə, onda kvadrat formanın matrisinin rütbəsi yeni bazaya keçdikdə dəyişmir. Buna görə də aşağıdakı tərifi formalaşdırmaq olar.

Tərif. Rütbəyə görə Xətti fəzada verilmiş kvadrat formanın bəzilərində və buna görə də fəzanın hər hansı əsasında onun matrisinin dərəcəsidir

İndi kvadrat formanı koordinat şəklində yazaq. Bunun üçün (3) əsasında vektoru genişləndiririk.

Əgər eyni əsasda kvadrat formalı matrisdirsə, (4) bərabərliyinə uyğun olaraq, bizdə

–

kvadrat formanın yazılmasının koordinat forması.

Beləliklə, əgər əsas verilirsə, onda koordinat qeydindəki kvadrat forma ikinci dərəcəli bircinsli çoxhədli kimi görünür. n dəyişənlər - vektorun verilmiş əsasda koordinatları. Bu çoxhədli deyilir verilmiş əsasda kvadrat forma. Lakin tətbiqlərdə belə çoxhədlilər çox vaxt müstəqil olaraq, xətti fəzalarla (məsələn, funksiyaların ikinci diferensialları) görünən əlaqəsi olmadan yaranır, buna görə də kvadrat formanın başqa bir tərifini tərtib edəcəyik.

Tərif... Kvadratdan n dəyişənlər  bu dəyişənlərdə ikinci dərəcəli bircinsli çoxhədli, yəni (4) formasının funksiyası adlanır. Kvadrat formanın (4) matrisi simmetrik matris adlanır.

Dəyişənlərin xətti qeyri-degenerativ çevrilməsi bərabərliklər sistemi (3) və ya (4) və ya bir matris bərabərliyi (3) ilə verilən dəyişənlərin çevrilməsidir, bu şərtlə ki, qeyri-degenerativ matris olsun. Matris T dəyişənlərin bu çevrilməsinin matrisi adlanır.

Əgər (3)-də dəyişənlərin əvəzinə onların ifadələrini dəyişənlər baxımından (4) düsturlara uyğun əvəz etsək, mötərizələri açıb oxşarlarını veririksə, onda ikinci dərəcəli başqa bir homojen çoxhədli alırıq:

.

Bu halda dəyişənlərin xətti pozulmayan çevrilməsinin kvadrat formanı kvadrat formaya çevirdiyi deyilir. (5.15) əlaqəsi ilə əlaqəli dəyişənlərin qiymətləri adlandırılacaqdır.

Tərif. Dəyişənlər çoxluğu adlanır qeyri-trivial dəyişənlərdən ən azı birinin qiyməti sıfırdan fərqli olarsa. Əks halda, dəyişənlər çoxluğu çağırılır əhəmiyyətsiz. 

Lemma 5.2. Dəyişənlərin xətti qeyri-degenerativ çevrilməsi zamanı əhəmiyyətsiz dəyişənlər çoxluğu əhəmiyyətsiz çoxluğa uyğun gəlir.

Nəticə. Dəyişənlərin xətti qeyri-degenerasiya transformasiyası altında qeyri-trivial dəyişənlər dəsti qeyri-trivial çoxluğa uyğun gəlir.

Teorem 5. Xətti degenerativ çevrilmə kvadrat forma alırsa  matris ilə A kvadrat formada  matris ilə A", sonra (Teorem 5.4-ün başqa bir ifadəsi).

Nəticə. Dəyişənlərin xətti qeyri-degenerativ çevrilməsi zamanı kvadrat formanın matrisinin determinantı işarəni dəyişmir.

Şərh. Keçid matrisi və matrisindən fərqli olaraq xətti operator, dəyişənlərin xətti qeyri-degenerasiya çevrilməsinin matrisi sütunlarla deyil, sətirlərlə yazılır.

Dəyişənlərin xətti degenerativ çevrilmələrinin tərkibi və onların ardıcıl tətbiqi adlanır, yəni dəyişənlərin çevrilməsi (4)-dən aydın olur ki, dəyişənlərin iki xətti qeyri-degenerasiya çevrilməsinin tərkibi həm də dəyişənlərin xətti pozulmayan çevrilməsidir.