Лаплас чевирмяси

Laplas çevirməsi.

Bütün həqiqi oxda təyin olunmuş funksiyası üçün

(1)
inteqralına baxaq; burada şəklində ixtiyarı kompleks ədəddir . Aydındır ki, hər hansı oblastda yığılan (1) inteqralı -nin funksiyası olar.
(2)
F(p) funksiyasına funksiyasının ikitərəfli Laplas çevirməsi deyilir və aşağıdakı kimi yazılır:

yaxud

və yaxud

Bu halda -ə orijinal, F(p)-yə isə -in surəti deyilir. funksiyası ancaq sağ yarımoxda, yəni yarımintervalında təyin olunmuşdursa və
(3)
inteqralı yığılarsa, F(p)-yə -in birtərəfli Laplas çevirməsi deyilir və aşağıdakı kimi işarə edilir:

yaxud

və yaxud

(2) və (3) inteqrallarına Laplas inteqralları da deyilir. Aşkardır ki, (3) çevirməsi (2) çevirməsinin xüsusi halıdır. Bütün həqiqi oxda təyin olunmuş funksiyası arqumentin mənfi qiymətlərində sıfır olduqda (2) çevirməsindən (3) çevirməsi alınar.

Qeyd edək ki, Laplas çevirməsinin əsas mahiyyəti başlanğıc şərtli diferensial tənliklərə gətirilən fiziki məsələləri həll etməkdən ibarətdir. Axtarılan funksiyanın başlanğıc anına kimi özünü necə aparması əslində fizika üçün maraqlı deyildir. Buna görə də axtarılan funksiyanı həmişə olduqda sıfır qəbul etmək olar. Bu səbəbə görə də burada birtərəfli Laplas çevirməsini, onun əsas xassələrini və tətbiqlərini öyrənməklə kifayətlənəcəyik.


y=sinx funksiyasının Laplas çevirməsinə baxaq.

olduğundan sinx funksiyasının Laplas çevirməsi ədədinə bərabərdir:



Teorem 1: (Laplas çevirmesinin varlıq teoremi).
x  0 oblastında hissə–hissə kəsilməyən və müsbət M, ədədləri üçün
( ) (4)
bərabərsizliyini ödəyən funksiyasının olduqda Laplas çevirməsi var və oblastında analitik funksiyadır.
Isbatı:

olduğundan (4) bərabərsizliyinə əsasən

alarıq.

inteqralı yığılan olduğundan

inteqralı oblastında mütləq yığılan olar. Həmin inteqral hər hansı bir F(p) funksiyasını təyin edir :

Indi göstərək ki, F(p) funksiyası p dəyişəninin analitik funksiyasıdır. Fərz edək ki, .

olduğundan

olar.

və

ilə işarə etsək,

alarıq. Aşkardır ki, və funksiyalarını təyin edən inteqralların


törəməsi var və kəsilməyəndir. Buradan çıxır ki, F(p) funksiyası oblastında analitik funksiyadır.