Massa markazi. Massa markazining harakati xaqidagi teorema

Massa markazi. Massa markazining harakati xaqidagi teorema.


Ko’p hollarda bir necha jism (moddiy nuqtalar) dan iborat mexanikaviy tizimning harakat qonunlarini o’rganish bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi. Bunday tizimning harakat qonunlarini o’rganishda mazkur tizim tarkibidagi jismlarning unda qanday taqsimlanganligini yoki bu jismlar bir – biriga nisbatan tizimda qanday joylashganligini bilish zaruriyati tug’iladi. Shu munosabat bilan inersiya markazi (massa markazi) degan tushuncha (inersiya markazi va massa markazi atamalari aynan bir ma’noda ishlatiladi, chunki jismning massasi uning inersiya o’lchovidir) kiritiladi.


Inersiya markazi va og’irlik markazi degan tushunchalar orasida quyidagi farq borligini esdan chiqarmaslik kerak: og’irlik markazi – bir jinsli og’irlik kuchi maydonida joylashgan qattiq jismlar uchungina ma’noga ega; inersiya markazi esa hech qanday maydon bilan bog’liq emas va ixtiyoriy mexanikaviy tizim uchun o’rinlidir. Og’irlik kuchi maydonida joylashgan qattiq jismlar uchun inersiya markazi va og’irlik markazi bir – biri bilan mos tushadi, ya’ni bir nuqtada joylashgan bo’ladi. Inersiya markazi massaning taqsimlanishini tasvirlovchi geometrik nuqta bo’lib, uning vaziyati koordinatalar boshiga nisbatan radius – vektor bilan quyidagicha aniqlanadi.


ya’ni:


(3.10)


bu erda


m_i - tizimga mansub, i – jismning massasi;
r_i - koordinatalar boshi O ga nisbatan i–jismning vaziyatini aniqlovchi radius – vektor;


m = m₁ = m₂ = ... = m_n - tizimning umumiy massasi.


Soddalashtirish maqsadida ikkita jismdan iborat tizimni olib qaraylik (3.2 – rasm). Massalari m₁ va m₂ bo’lgan jismlarning vaziyatlari koordinata boshi O ga nisbatan mos ravishda r₁ va r₂ radius – vektorlar bilan berilgan bo’lsa, bu ikki jismdan iborat tizimining inersiya markazi
formula orqali ifodalanib, ikki jismning geometrik markazlarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziqda yotadi.


(3.10) tenglama vektor orqali ifodalangan tenglamadir, lekin inersiya markazlarining vaziyatini aniqlovchi mazkur radius – vektorni uning koordinata o’qlaridagi proeksiyalar orqali ham ifodalash mumkin:


(3.11)


bunda


m - tizimining umumiy massasi;


x_i ,y_i ,z_i - tizim tarkibidagi i - jismning koordinatalri.


Xususiy holda, agar tizim massalari m₁ va m₂ bo’lgan ikkita jismdan iborat bo’lsa va ularni X o’qi bo’yicha joylashtirsak, inersiya markazining koordinatasi
bo’ladi. Tizim inersiya markazini aniqlovchi radiusg`vektor r_c dan vaqt bo’yicha olingan hosila (r_c ning birlik vaqt davomida o’zgarishi) inersiya markazining tezligini ifodalaydi:
(3.12)


(3.10) formulani (3.12) ga qo’yib, inersiya markazining tezligi uchun
(3.13)


ga ega bo’lamiz; bu erda V_i va _i mos ravishda i- jismning tezligi va impul’si; ravshanki
(3.14)


tizimning to’la impul’si bo’lib, ko’pincha P –inersiya markazining impul’si ham deyialadi; m - tizimining umumiy massasi ya’ni:


(3.15)


Endi (3.14) ni ko’zda tutib, (3.13) ifodani quyidagicha yozamiz:
yoki P h mV_s


Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan tizimning to’la impulsidan vaqt bo’yicha olingan hosila shu tizimga ta’sir etayotgan tashqi kuchlarning vektor yig’indisiga teng:
(3.16)


bu erda


_{s -} inersiya markazining tezlanishi,