Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar (odt) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni

Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechish. Progonka usuli va uning ayirmali tenglamalarni yechishga tadbiqi.

1. Chegaraviy masalalarni sonli yechish usullari

Chegaraviy masalalarni echishning sonli usullarini qaraymiz. Ularni ikkita guruіga ajratish mumkin:

1. 
   Chegaraviy masala echimini ketma-ket Koshi masalalarini echishga keltirish;
   
2. 
   Chekli ayirmalar usullarini qo`llash.
   

Birinchi guruі usullariga, xususan, o`q otish usuli kiradi.

1. 
   O`Q OTISH USULI
   

[0,1] kesmada ikkinchi hosilaga nisbatan echilgan ikkinchi tartibli tenglama uchun chegaraviy masalani qaraymiz:

Іar qanday kesmani

y^ 
f x, y, y^.
(1)

_{t } x  a
b  a
almashtirish yordamidamojno [0,1] kesmaga keltirish mumkin.
CHegaraviy shartni quyidagi oddiy ko`rinishda olamiz

y(0) 
y₀ ,
y(1) 
^y₁ . (2)

O`q otish usulining moіiyati (1),
<sup>y</sup> (2) chegaraviy masalani echishni (1)
tenglama uchun
y0  y<sub>0</sub> , y<sup></sup>0  k  tg,
(3)
boshlang`ich shartli masala echimiga
^y0 keltirishdan iborat, bunda  - parametr

x  0
nuqtada integral chiziqga

0 1 ^x
o`tkazilgan urinmaning 0x
hosil qilgan burchagidir.
o`qi bilan

1. 
   , (3) Koshi masalasini  dan boғliq deb hisoblaylik, ya`ni y=y(x,), shunday y=y(x,_*) integral chiziqni izlaymizki, u (0,y₀) nuqtadan chiqib
   

(1, y₁) nuqtaga tushsin.

SHunday qilib, agar =_* bo`lsa, u holda y(x,) Koshi masalasi echimi y(x)

chegaraviy masala echimi bilan ustma-ust tushadi.
y1,  y₁ ni hosil qilamiz
x  1
da (2) ni hisobga olib

y(1,)-y₁=0. (4)
Demak F()=0 ko`rinishdagi tenglamani hosil qildik, bunda F()=y(1,)-y<sub>1</sub>.
(4) tenglamani echish uchun chiziqlimas tenglamlarni yechishning birorta usulini qo`llash mumkin.