Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко»

Рыбницкий филиал

Кафедра физики, математики и информатики

Курсовая работа
по дисциплине: «Практикум по решению задач на ЭВМ»
на тему:
«Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений»

Выполнила:

студентка III курса;

330^й группы

специальности: «Информатика

с доп. специальностью английский

язык».

Нистор А. Г..

Проверила:

преподаватель Панченко Т. А.

г. Рыбница

2008 год

Оглавление

Цели и задачи. 7

1.1 Обзор существующих методов решения нелинейных уравнений 12

1.2 Алгоритм метода Ньютона 14

k 24

x(k) 24

f(x(k)) 24

f’(x(k)) 24

| x(k+1) - x(k) | 24

0 24

0. 565 24

-4. 387 24

-9. 982 24

0. 473 24

1 24

0. 092 24

0. 088 24

-9. 818 24

0. 009 24

2 24

0. 101 24

0. 000 24

-9. 800 24

0. 000 24

3 24

0. 101 24

k 25

x(k) 25

f(x(k)) 25

f’(x(k)) 25

| x(k+1) - x(k) | 25

0 25

2 25

0. 449 25

0. 361 25

1. 241 25

1 25

-0. 265 25

0. 881 25

0. 881 25

0. 301 25

2 25

-0. 021 25

0. 732 25

0. 732 25

0. 029 25

3 25

0. 000 25

0. 716 25

0. 716 25

0. 000 25

4 25

1. 089 25

k 27

x(k) 27

f(x(k)) 27

f’(x(k)) 27

| x(k+1) - x(k) | 27

0 27

1, 000 27

0, 632 27

2, 368 27

0, 267 27

1 27

0, 733 27

0, 057 27

1, 946 27

0, 029 27

2 27

0, 704 27

0, 001 27

1, 903 27

0, 001 27

3 27

0, 703 27

k 28

x(k) 28

f(x(k)) 28

f’(x(k)) 28

| x(k+1) - x(k) | 28

0 28

1, 000 28

-0. 066 28

0. 462 28

0. 143 28

1 28

1. 161 28

-0. 007 28

0. 372 28

0. 018 28

2 28

1. 162 28

0. 0001. 28

0. 363 28

0. 001 28

3 28

1. 162 28

k 30

x(k) 30

f(x(k)) 30

f’(x(k)) 30

| x(k+1) - x(k) | 30

0 30

1, 000 30

0, 350 30

3, 086 30

0, 114 30

1 30

0, 886 30

0, 013 30

2, 838 30

0, 005 30

2 30

0, 881 30

0, 001 30

2, 828 30

0, 000 30

3 30

0, 881 30

3.1 Описание программы 31

3.2 Тестирование программы 32

Список используемой литературы 37

Введение
Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники. Повышается уровень подготовки студентов вузов, которые уже с первых курсов приобщаются к использованию ЭВМ и простейших численных методов, не говоря уже о том, при что выполнении курсовых и дипломных проектов применение вычислительной техники становится нормой в подавляющем большинстве вузов.

Вычислительная техника используется сейчас не только в инженерных расчетах и экономических науках, но и таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология. В связи с этим можно констатировать, что применение ЭВМ приобрело массовый характер. Возникла многочисленная категория специалистов - пользователей ЭВМ, которым необходимы знания по применению ЭВМ в своей отрасли - навыки работы с уже имеющимся программным обеспечением, а также создания своего собственного программного обеспечения, приспособленного для решения конкретной задачи. И здесь на помощь пользователю приходят описания языков программирования высокого уровня и численные методы .

Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Для большинства пользователей главной задачей является понимание основных идей и методов, особенностей и областей применения. Однако, пользователи хотят работать с ЭВМ не только как с высокоинтеллектуальным калькулятором, а еще и как с помощником в повседневной работе, хранилищем информации с быстрым и упорядоченным доступом, а так же с источником и обработчиком графической информации. Все эти функции современной ЭВМ я предполагаю продемонстрировать в настоящей курсовой работе.

Цели и задачи.

Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Данная работа состоит из трёх разделов, заключения и приложения. Первый раздел - теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона. Второй – это практическая часть. Здесь описывается метод Ньютона разобранный на конкретных примерах. Третий посвящён тестированию программы и анализу получившихся результатов. В заключении представлен вывод о проделанной работе.

Целью данной курсовой работы является программная реализация метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить необходимую литературу.

2. Обзорно рассмотреть существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3. Изучить метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4. Рассмотреть решение нелинейных уравнений методом Ньютона на конкретных примерах.

5. Разработать программу для решения нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Проанализировать получившиеся результаты.
I. Теоретический раздел
Рассмотрим задачу нахождения корней нелинейного уравнения
f(x)=0 (1)
Корнями уравнения (1) называются такие значения х, которые при подстановке обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в виде формул, т.е. аналитическом виде. Чаще приходится решать уравнения приближенными методами, наибольшее распространение среди которых, в связи с появлением компьютеров, получили численные методы.

Алгоритм нахождения корней приближенными методами можно разбить на два этапа. На первом изучается расположение корней и проводится их разделение. Находится область [a,b], в которой существует корень уравнения или начальное приближение к корню x₀. Простейший способ решения этой задачи является исследование графика функции f(x) . В общем же случае для её решения необходимо привлекать все средства математического анализа.

Существование на найденном отрезке [a,b], по крайней мере, одного корня уравнения (1) следует из условия Больцано:
f(a)*f(b)<0 (2)
При этом подразумевается, что функция f(x) непрерывна на данном отрезке. Однако данное условие не отвечает на вопрос о количестве корней уравнения на заданном отрезке [a,b]. Если же требование непрерывности функции дополнить ещё требованием её монотонности, а это следует из знакопостоянства первой производной , то можно утверждать о существовании единственного корня на заданном отрезке.

При локализации корней важно так же знание основных свойств данного типа уравнения. К примеру, напомним, некоторые свойства алгебраических уравнений:

, (3)
где вещественные коэффициенты.

а) Уравнение степени n имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные. Комплексные корни образуют комплексно-сопряженные пары и, следовательно, уравнение имеет четное число таких корней. При нечетном значении n имеется, по меньшей мере, один вещественный корень.

б) Число положительных вещественных корней меньше или равно числа переменных знаков в последовательности коэффициентов . Замена х на –х в уравнении (3) позволяет таким же способом оценить число отрицательных корней.

На втором этапе решения уравнения (1), используя полученное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнять значение корня с некоторой, наперед заданной точностью . Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате процесса итерации находится последовательность приближенных значений корней уравнения . Если эта последовательность с ростом n приближается к истинному значению корня x , то итерационный процесс сходится. Говорят, что итерационный процесс сходится, по меньшей мере, с порядком m, если выполнено условие:

, (4)
где С>0 некоторая константа. Если m=1 , то говорят о сходимости первого порядка; m=2 - о квадратичной, m=3 - о кубической сходимостях.

Итерационные циклы заканчиваются, если при заданной допустимой погрешности выполняются критерии по абсолютным или относительным отклонениям:

; (5,6)
или малости невязки:
(7)
Эта работа посвящена изучению алгоритма решения нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона.