Musbat hadli qatorlar

Musbat hadli qatorlar. Musbat hadli qatorlarda solishtirish alomati

Faraz qilaylik,


qator berilgan bo‘lsin. Bu qatorning har bir hadi manfiy bo‘lmasa:
,
u qator musbat hadli qator (qisqacha musbat qator) deyiladi.


1. Musbat qatorlarning yaqinlashuvchiligi. Aytaylik,
(1)
musbat qator bo‘lib,

uning qismiy yig‘indisi bo‘lsin. Ravshanki,

bo‘lganligi sababli bo‘ladi. Demak, musbat qatorlarning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi

o‘suvchi bo‘ladi.
Ma’lumki, o‘suvchi ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega bo‘ladi. Shuningdek, ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u chegaralangan (jumladan yuqoridan chegaralangan) bo‘ladi. Natijada musbat qatorlarning yaqinlashishi haqida quyidagi teoremaga kelamiz:


1-teorema. (1) musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning qismiy yig‘indilaridan iborat ketma-ketlikning yuqoridan chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.


Natija. Musbat qatorning qismiy yig‘indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.


2. Musbat qatorlarda solishtirish alomatlari

Endi musbat qatorlarda solishtirish alomatlarini keltiramiz. Ular teoremalar orqali ifodalanadi.

2-teorema. Agar (1) va
(2)
musbat qatorlarda
(3)
tengsizlik bajarilsa,(ya’ni (1) qatorning har bir hadi (2) qatorning mos hadidan oshib ketmasa) u holda
a) (2) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (1) qator ham yaqinlashuvchidir;
b) (1) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, (2) qator ham uzoqlashuvchidir.
(1) va (2) qatorlarning qismiy yig‘indilari mos ravishda va  deylik:
.
U holda (3) munosabatdan foydalanib
(4)
ni topamiz.
Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda 1-teoremaga ko‘ra (2) qatorning qismiy yig‘indisi yuqoridan chegaralangan bo‘ladi:

Bu va (4) tengsizlikdan

kelib chiqadi. Demak, (1) qatorning qismiy yig‘indisi yuqoridan chegaralangan. U holda 1-teoremaga qo‘ra (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Aytaylik, (1) qator uzoqlashuvchi bo‘lsin. U holda yuqoridan chegaralangan emas. (4) tengsizlikka ko‘ra ham yuqoridan chegaralanmagan. Yuqoridagi natijaga ko‘ra (2) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.

3-teorema. Agar (1) va (2) musbat qatorlarda
(5)
tengsizlik bajarilsa, u holda:
a) (2) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (1) qator ham yaqinlashuvchi;
b) (1) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, (2) qator ham uzoqlashuvchi.
Keltirilgan teoremaning (5) shartidan topamiz:
,
,
. (6)
Demak, (1) va (2) qator hadlari orasida (6) munosabat o‘rinli.
Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda yaqinlashuvchi qatorning 2-xossasiga ko‘ra

qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. (6) tengsizlik va 2-teoremadan foydalanib, (1) qatorning yaqinlashuvchiligini topamiz. Aytaylik, (1) qator uzoqlashuvchi bo‘lsin. (6) tengsizlik va 2-teoremadan foydalanib, (2) qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishini topamiz.


Misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Bu qatorning umumiy hadi

bo‘lib, uning uchun
(7)
bo‘ladi. Biz oldingi paragrafda

qatorning yaqinlashuvchiligini ko‘rgan edik. Bu va (7) tengsizlik, 2-teoremadan foydalanib, berilgan qatorning yaqinlashuvchi ekanini topamiz.