Qrup: 40 A1 Kurs: Fənn

Azərbaycan Texniki Universiteti

Fakültə:İnformasiya və Telekommunikasiya texnologiyaları
Kafedra:Telekommunikasiya və İnformasiya təhlükəsizliyi
İxtisas:050615-İnformasiya təhlükəsizliyi
Qrup:640 A1
Kurs:1
Fənn:Diskret riyaziyyat
Müəllim:Rəna Əmirova
Tələbə:Ruslan Səfərli

Sərbəst iş 2

1.Münasibətlər.Homomorfluq və izomorfluq
1.Münasibətlər nəzəriyyəsi

Çoxluqlar nəzəriyyəsini tətbiqi məsələlərə və riyazi nəzəriyyələrin qurulmasına tətbiq etmək üçün elementləri arasında bu və ya digər münasibət olan çoxluqlara baxmaq lazımdır. Əvvəlcə misala baxaq:

Verilmiş alayın zabitlər çoxluğunda (a; b) elementlər cütü üçün “Zabit a, zabit b ilə eyni bölükdə xidmət edir” hökmü doğrudur. Başqa bir cüt üçün “Zabit a, rütbəcə zabit b-dən böyükdür” qərarı doğrudur. 3-cü cüt üçün “Zabit a- nın rütbəsi zabit b-nin rütbəsinə bərabərdir” qərarı doğrudur. Bu qərarlardan hər biri a və b zabitləri arasında müəyyən əlaqə müəyyənləşdirir (birgə xidmət, böyüklük, rütbə bərabərliyi). Bu misallarda eyni bir çoxluğun elementləri arasındakı münasibətlərdən danışılır. Müxtəlif çoxluqların elementləri arasındakı uyğunluqdan da danışmaq olar. Məsələn, “Zabit a, b bölüyündə xidmət edir” qərarı zabitlər çoxluğu ilə bölüklər çoxluğu arasında uyğunluq verir.

Bu misallardan görünür ki, hər bir uyğunluq (eyni bir çoxluğun iki elementi, ya da hər çoxluqdan bir element olmaqla iki element arasında) hər hansı iki yerli R(x,y), x ∈X, y∈ Y predikatı ilə verilir (məsələn, “zabit X, bölük Y- də xidmət edir” burada x – X zabitlər çoxluğuna, y isə Y bölüklər çoxluğuna daxildir).

Əgər X və Y çoxluqları üst-üstə düşərsə, yəni X=Y olarsa, onda uyğunluq əvəzinə X çoxluğunun elementləri arasındakı münasibət alınır. Bununla əlaqədar olaraq eyni çoxluğun alt çoxluğu olan iki müxtəlif R(x, y), x ∈X, y ∈Y və S(x, y) x ∈X, y∈Y predikatı yarana bilər.

Tərif.𝐴1, 𝐴2, ... , 𝐴𝑛 çoxluqlarının 𝐴1 × 𝐴2 × ... × 𝐴𝑛 dekart hasilinin istənilən altçoxluğuna bu çoxluqlar üzərində təyin olunan n-yerli münasibət (n-yerli predikat) deyilir və R(𝑥1, 𝑥2, ... , 𝑥𝑛) ilə işarə olunur və

R(𝑥1, 𝑥2, ... , 𝑥𝑛)=

={(𝑥1𝑥2,...,𝑥𝑛)/𝑥1 ∈ 𝐴1,𝑥2 ∈ 𝐴2,...,𝑥𝑛 ∈ 𝐴𝑛} şəklində təyin olunur.

n=1 olduqda münasibət unar münasibət adlanır. Məsələn, "müsbət olmaq", "mənfi olmaq", "bu rəqəmə bərabərdir", sadə həndəsi "fiqur olmaq" münasibətləri unar münasibətlərdir.

n=2 olduqda isə 𝑅 ⊆ X x 𝑌 cütlər çoxluğuna 𝑋 və 𝑌 çoxluqlarının binar münasibəti və ya binar uyğunluğu deyilir. Binar münasibət iki çoxluğun elementləri arasındakı uyğunluqdur, yəni binar münasibət uyğunluğun xüsusi halıdır. Digər tərəfdən, ixtiyari 𝑆 uyğunluğu 𝐴 və 𝐵 çoxluqları arasındakı münasibətlərin alt çoxluğudur. Əgər 𝑆⊂𝐴×𝐵və A×B⊂(𝐴⋃𝐵)×(𝐴∪𝐵)olarsa, onda 𝑆 ⊂ (𝐴⋃𝐵) × (𝐴 ∪ 𝐵) olar, yəni S uyğunluğu 𝐴⋃𝐵 çoxluğunda verilmiş münasibətdir. Məsələn,(𝑥 = 𝑦),(𝑥 ≠ 𝑦), (𝑥 > 𝑦), (𝑥 < 𝑦), (𝑥 ≤ 𝑦), (𝑥 ≥),(𝑥 ∥ y), (𝑥 ⊥ 𝑦), (𝑥 ⊂ 𝑦),(𝑥⋂𝑦 ≠ ∅),(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑄(𝑥)),(𝑃(𝑥) ⇔ 𝑄(𝑥)) münasibətləri binar münasibətdir. A×𝐴={(𝑥,𝑥)\ x∈𝐴} münasibəti eynilik və ya diaqonal adlanır. Tutaq ki, A və B çoxluqları üzərində R∈𝐴× B={(𝑥, 𝑦)\𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵} münasibəti təyin olunmuşdur.

Tərif.R münasibətinin təyin oblastı elə x ∈ 𝐴 elementlər çoxluğuna deyilir ki, xRy münasibətində olan y elementi olsun və 𝐷𝑜𝑚𝑅 ilə işarə olunur.

R∈ 𝐴 × 𝐵 ⇒ 𝐷𝑜𝑚𝑅 = {𝑥 ∈ 𝐴|∃𝑦 ∈ 𝐵, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.

Tərif.R münasibətinin qiymətlər çoxluğu y∈ 𝐵 elementlər çoxluğuna deyilir ki, xRy münasibətində olan x elementi olsun və İ𝑚𝑅 ilə işarə olunur.

R∈ 𝐴 × 𝐵 ⇒ İ𝑚𝑅 = {𝑦 ∈ 𝐵|∃𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}

Binar münasibətlərin verilmə üsulları:

1.Münasibətin elementlərini saymaqla: R∈A×B={(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}.

2.Xarakterik münasibət verməklə: P={(x,y)∈ 𝑅2| 𝑥2 + 𝑦2 = 4}.

3.Qrafik üsulu ilə: (yalnız 𝑅2-çoxluğunun altçoxluqları)

R münasibətinin qrafiki OXY koordinat müstəvisinin (x,y) ∈ 𝑅 koordinat nöqtələri çoxluğudur.

4) Qrafla: A çoxluğunda R münasibətinin (R∈ 𝐴 × 𝐴) qrafı növbəti şəkildə verilmiş həndəsi fiqurla təyin olunur: müstəvi nöqtələri (təpələri) və (𝐷𝑜𝑚𝑅∪İ𝑚𝑅) çoxluğunun elementlərindən düzəldilmiş hər bir (a,b) ∈ 𝑅 cütü bir xəttə və ya tilə (əyri və ya düz) uyğun olur, a və b nöqtələrini birləşdirən xətt a-dan b-yə istiqamətlənir. İxtiyari sonlu çoxluqda təyin olunan binar münasibəti qrafla göstərmək olar və ya tərsinə.

5) Binar münasibətin matrislə verilməsi:

Elementləri 1 və 0 qiymət alan matrisə, adətən ( 0, 1) matrisi deyilir. R binar uyğunluğuna uyğun (0, 1) matrisi onun ünsiyyətlik matrisi adlanır.

Binar münasibətin xassələri:

Tutaq ki, 𝐴 ≠ ∅ 𝑣ə 𝑅 ∈ 𝐴 × 𝐴 verilmişdir.