Qrup: 690a1 Mövzu: Funksiyanın diferensial

Ad Soyad: Səmədo Sadiq

Qrup: 690a1

Mövzu: Funksiyanın diferensial

Tutaq ki, x nöqtəsində y = f (x) funksiyasının törəməsi var, yəni

Dy ¢(x) . lim = f

Dxfi0 Dx

Onda

Dy ¢(x)+a

= f

Dx

yazmaq olar, burada Dx fi 0 olduqda afi 0.

Deməli, funksiyanın artımı

Dy = f ¢(x) Dx +a Dx .

a Dx kəmiyyəti f ¢(x) Dx-ə nəzərən daha yükcək tərtibli sonsuz kiçik kəmiyyətdir, yəni f ¢(x) Dx Dy artımının baş hissəsidir. y = f (x) funksiyasının artımının baş hissəsi funksiyanın

diferensialı adlanır və d f (x) və yaxud dy kimi işarə olunur. Tərifdən alınır ki,

dy = f ¢(x) Dx .

Əgər y = x olarsa, onda

dy = dx

Dx = dx.

dy = x¢ Dx =1 Dx = Dx

Nəticələr:

1. 
   asılı olmayan dəyişənin diferensialı bu dəyişənin artımına bərabərdir;
   
2. 
   x nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialı bu nöqtədə funksiyanın törəməsi ilə asılı olmayan dəyişənin diferensialı hasilinə bərabərdir: dy = f ¢(x) dx .
   

Onda funksiyanın törəməsi diferensialların nisbəti kimi müəyyən edilə bilər: f ¢(x) = ^dy .



dx

Qeyd: Funksiyanın diferensialı dy x və Dx -dən asılıdır, funksiyanın f ¢(x) törəməsi isə yalnız x -dən asılıdır.

Diferensialın xassələri

Tutaq ki, u = f (x) və v = g(x) x nöqtəsində diferensiallanan funksiyalardır. Törəmənin xassələrindən və diferensialın tərifindən istifadə edərək, diferensialın aşağıdakı xassələrinin olduğunu isbat etmək olar:

1. 
   d(C) = 0 , C = const ;
   
2. 
   dx = Dx, əgər x - asılı olmayan dəyişəndirsə;
   
3. 
   d(Cu) = (Cu)¢dx = Cu¢dx = Cdu ;
   
4. 
   d(u –v) = (u –v)¢dx = u¢dx –v¢dx = du – dv ;
   
5. 
   d(u v) = (u v)¢dx = (u¢v +uv¢)dx = u¢vdx +uv¢dx =
   

= vdu +udv d(u v) = vdu +udv ;

u ¢ ¢v -uv¢ u¢vdx -uv¢ dx

6. 
   dŁ v ł = Łuv ł dx = u v ₂ dx = v₂ =
   

= vduv -₂udv dŁuv ł = vduv-₂udv ;

7. 
   d( f (u)) = f_u¢(u) u¢dx = f_u¢(u)du .
   

Diferensialın tərifindən və xassələrindən alınır ki, törəmələrin və ya diferensialların tapılması mahiyyətcə, diferensiallama adlanan, eyni məsələyə gətirilir. Misal 1.1.

y = sin x -ln x + ³ x⁵ funksiyasının diferensialını tapmalı.

Həlli.

Funksiyanın diferensialı dy = f ¢(x) dx düsturu ilə təyin edilir.

¢ ¢ ₃



f ¢(x) = sin x -ln x + ⁵ x³ = (sin x)¢-(ln x)¢+ x⁵ =

Ł ł

2

= cos x - ¹ + ³ x⁵ .

x 5

Beləliklə,

dy = cos x - ¹ + ³ x^{-2 5} dx .

Ł x 5 ł

M₀(x₀, y₀) nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialının həndəsi mənasını araşdıraq (şəkil 1.1). Şəkilə əsasən, M₀KN

düzbucaqlı üçbucağından
KN = tgj Dx və ya	KN = tgj Dx
tgj= y¢	KN = dy ,

KN = y¢dx

KL = Dy = f (x₀ + Dx)- f (x₀) olduğu alınır ki, bu da əyrinin ordinatının artımıdır.

Şəkil 1.1. Nöqtədə funksiyanın diferensialının həndəsi şərhi

Beləliklə, x₀ nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialı həndəsi olaraq bu nöqtədə funksiyasının qrafikinə toxunanın ordinatının artımına bərabərdir.

Göstərilən mülahizələrdən aşağıdakı nəticəyə gəlmək olar: əgər y = f (x) funksiyasının x₀ nöqtəsində törəməsi varsa, onda o bu nöqtədə diferensiallanandır, həm də nəzərə almaq lazımdır ki, f ¢(x₀) = const .

Bu təklifin əksi də doğrudur: əgər y = f (x) funksiyası x₀ nöqtəsində diferensiallanandırsa, onda bu nöqtədə onun törəməsi var.

Tutaq ki, y = f (x) və x =j(t) funksiyaları verilmişdir, onda y = f (j(t)) funksiyası t dəyişəninin mürəkkəb funksiyası, x

dəyişəni isə aralıq arqument olur.

Tutaq ki, j(t) funksiyasının t nöqtəsində törəməsi var, y = f (x) funksiyası isə t nöqtəsinə uyğun olan x nöqtəsində diferensiallanandır. Onda y = f (j(t)) mürəkkəb funksiyası t nöqtəsində diferensiallanandır, bu halda mürəkkəb funksiyanın diferensialı dy = (y¢)_t dt

şəklində olur.