Qrup: 690a1 Mövzu: Funksiyanın diferensial



Yüklə 56,93 Kb.
tarix02.01.2022
ölçüsü56,93 Kb.
#40817
Funksiyanın Diferensialı Səmədov Sadiq
HTML DƏRSİ

Ad Soyad: Səmədo Sadiq

Qrup: 690a1

Mövzu: Funksiyanın diferensial

Tutaq ki, x nöqtəsində y = f (x) funksiyasının törəməsi var, yəni



Dy ¢(x) . lim = f

Dxfi0 Dx

Onda

Dy ¢(x)+a

= f

Dx

yazmaq olar, burada Dx fi 0 olduqda afi 0.

Deməli, funksiyanın artımı

Dy = f ¢(x) Dx +a Dx .



a Dx kəmiyyəti f ¢(x) Dx-ə nəzərən daha yükcək tərtibli sonsuz kiçik kəmiyyətdir, yəni f ¢(x) Dx Dy artımının baş hissəsidir. y = f (x) funksiyasının artımının baş hissəsi funksiyanın

diferensialı adlanır və d f (x) və yaxud dy kimi işarə olunur. Tərifdən alınır ki,

dy = f ¢(x) Dx .

Əgər y = x olarsa, onda



dy = dx

Dx = dx.



dy = x¢ Dx =1 Dx = Dx

Nəticələr:

  1. asılı olmayan dəyişənin diferensialı bu dəyişənin artımına bərabərdir;

  2. x nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialı bu nöqtədə funksiyanın törəməsi ilə asılı olmayan dəyişənin diferensialı hasilinə bərabərdir: dy = f ¢(x) dx .

Onda funksiyanın törəməsi diferensialların nisbəti kimi müəyyən edilə bilər: f ¢(x) = dy .



dx

Qeyd: Funksiyanın diferensialı dy x və Dx -dən asılıdır, funksiyanın f ¢(x) törəməsi isə yalnız x -dən asılıdır.

Diferensialın xassələri

Tutaq ki, u = f (x) və v = g(x) x nöqtəsində diferensiallanan funksiyalardır. Törəmənin xassələrindən və diferensialın tərifindən istifadə edərək, diferensialın aşağıdakı xassələrinin olduğunu isbat etmək olar:



  1. d(C) = 0 , C = const ;

  2. dx = Dx, əgər x - asılı olmayan dəyişəndirsə;

  3. d(Cu) = (Cudx = Cu¢dx = Cdu ;

  4. d(u v) = (u vdx = u¢dx v¢dx = du dv ;

  5. d(u v) = (u vdx = (u¢v +uv¢)dx = u¢vdx +uv¢dx =

= vdu +udv d(u v) = vdu +udv ;

u ¢ ¢v -uv¢ u¢vdx -uv¢ dx

  1. dŁ v ł = Łuv ł dx = u v 2 dx = v2 =



= vduv -2udv dŁuv ł = vduv-2udv ;





  1. d( f (u)) = fu¢(u) u¢dx = fu¢(u)du .

Diferensialın tərifindən və xassələrindən alınır ki, törəmələrin və ya diferensialların tapılması mahiyyətcə, diferensiallama adlanan, eyni məsələyə gətirilir. Misal 1.1.

y = sin x -ln x + 3 x5 funksiyasının diferensialını tapmalı.

Həlli.

Funksiyanın diferensialı dy = f ¢(x) dx düsturu ilə təyin edilir.



¢ ¢ 3



f ¢(x) = sin x -ln x + 5 x3 = (sin x)¢-(ln x)¢+ x5 =

Ł ł


2

= cos x - 1 + 3 x5 .

x 5

Beləliklə,



dy = cos x - 1 + 3 x-2 5 dx .

Ł x 5 ł



M0(x0, y0) nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialının həndəsi mənasını araşdıraq (şəkil 1.1). Şəkilə əsasən, M0KN

düzbucaqlı üçbucağından




KN

= tgj Dx

və ya


KN = tgj Dx

tgj= y¢



KN = dy ,



KN = y¢dx

KL = Dy = f (x0 + Dx)- f (x0) olduğu alınır ki, bu da əyrinin ordinatının artımıdır.

Şəkil 1.1. Nöqtədə funksiyanın diferensialının həndəsi şərhi

Beləliklə, x0 nöqtəsində y = f (x) funksiyasının diferensialı həndəsi olaraq bu nöqtədə funksiyasının qrafikinə toxunanın ordinatının artımına bərabərdir.

Göstərilən mülahizələrdən aşağıdakı nəticəyə gəlmək olar: əgər y = f (x) funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsi varsa, onda o bu nöqtədə diferensiallanandır, həm də nəzərə almaq lazımdır ki, f ¢(x0) = const .

Bu təklifin əksi də doğrudur: əgər y = f (x) funksiyası x0 nöqtəsində diferensiallanandırsa, onda bu nöqtədə onun törəməsi var.

Tutaq ki, y = f (x) və x =j(t) funksiyaları verilmişdir, onda y = f (j(t)) funksiyası t dəyişəninin mürəkkəb funksiyası, x

dəyişəni isə aralıq arqument olur.

Tutaq ki, j(t) funksiyasının t nöqtəsində törəməsi var, y = f (x) funksiyası isə t nöqtəsinə uyğun olan x nöqtəsində diferensiallanandır. Onda y = f (j(t)) mürəkkəb funksiyası t nöqtəsində diferensiallanandır, bu halda mürəkkəb funksiyanın diferensialı dy = (y¢)t dt



şəklində olur.
Yüklə 56,93 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə