Roll, Lagranj teoremalari Bo’ronova Munisa

Roll, Lagranj teoremalari

Bo’ronova Munisa

Reja:

1. Lagranj teoremasi 2. Koshi teoremasi 3. Mavzu yuzasidan misollar.

O’tilgan mavzular bo’yicha savol-javob

1) Funksiya hosilasi qanday ta’riflanadi?

2) Funksiya hosilasining geometrik ma’nosi nimadan iborat?

3) Egri chiziq urinmasining tenglamasi qanday ko’rinishga ega?

4) Hosilaga ega bo‘lgan funksiyaning uzluksizligi deganda nimani tushunasiz?

5) To’plamda differensiallanuvchi funksiya deganda nimani tushunasiz?

Darsning maqsadi va tayanch tushunchalar

• Darsning maqsadi :Roll, Lagranj, teoremalarini va ularning tadbiqini talabalarga tushuntirish.
• Tayanch tushunchalar:

1. Roll teoremasi;

2. Lagranj teoremasi;

Tarixiy ma’lumot

• Mishel Roll (1652-1719)- farang matematigi, uzoq vaqt yangi hisobga qarshi bo’lgan, bu izlanishlarga umrini oxiridagina qo’shilgan.
• Jozef-Lui Lagranj (1736-1813)- mashxur farang matematigi va mexanigi.

Roll teoremasi

• 1-teorema Roll teoremasi. Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi
• 1) [a;b] da uzluksiz;
• 2) (a;b) da differensiallanuvchi;
• 3) f(a)= f(b)

shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladigan kamida bitta c (a) nuqta mavjud bo‘ladi.

Isboti. Ma’lumki, agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya shu kesmada o‘zining eng katta M va eng kichik m qiymatlariga erishadi. Qaralayotgan f(x) funksiya uchun ikki hol bo‘lishi mumkin.

1. M=m, bu holda [a,b] kesmada f(x)=const va f’(x)=0 bo‘ladi. Ravshanki, f’(c)=0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida s(a;b) ni olish mumkin.

• 1. M=m, bu holda [a,b] kesmada f(x)=const va f’(x)=0 bo‘ladi. Ravshanki, f’(c)=0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida s(a;b) ni olish mumkin.
• 2. M>m, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun f(c)=m bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra x[a,b] uchun f(x) f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
• Endi f’(c)=0 ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi.
• f(c)=M bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi.