Sirtning yopishma paraboloidi. Yopishma paraboloid tenglamasi



Yüklə 49,5 Kb.
səhifə1/3
tarix02.01.2022
ölçüsü49,5 Kb.
#42780
  1   2   3
1452436611 63407


Sirtning yopishma paraboloidi
Reja:


  1. Sirtning yopishma paraboloidi.

  2. Yopishma paraboloid tenglamasi.

  3. Sirt nuqtalarini sinflarga ajratish.

  4. Sirtning egrilik indikatrisasi.

F regulyar sirt va unda yotuvchi Р nuqta berilgan bo`lsin. Uchi Р nuqtada va o`qi sirtning Р nuqtadagi normali bilan ustma-ust tushuvchi U paraboloidni olamiz. Sirt ustida Р nuqtaga yaqin bo`lgan biror Q nuqtani olaylik. Q nuqta orqali paraboloid o`qiga parallel qilib o`tkazilgan to`g`ri chiziq paraboloidni Q nuqtada kesib o`tsin. Р ва Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q va Q nuqtalar orasidagi masofani esa h bilan belgilaymiz.

Ta‘rif. Agar sirt bo`ylab QР да h/d2 nisbat 0 ga intilsa, u xolda U paraboloidni F sirtning Р nuqtasidagi yopishma paraboloidi deyiladi.

TEOREMA.Regulyar(2 marta uzluksiz differentsiallanuvchi) sirtning xar bir nuqtasida yopishma paraboloid mavjud bo`lib, u yagonadir. Xususan, bu paraboloid parabolik tsilindrdan yoki tekislikdan iborat bo`lishi mumkin.

ISBOT. Aytaylik F sirt r=r(u,v) vektor tenglama bilan berilgan bo`lsin. Koordinata sistemasini quyidagicha kiritamiz:

Sirtning Р nuqtasidagi urinma tekislikni ХОУ koordinata tekisligi deb va ushbu nuqtadagi normalni ОZ o`qi deb olamiz. U xolda [ru,rv] vektor 0Z o`qi bo`ylab yo`nalgani uchun



0

bo`ladi. Shuning uchun Р nuqtaning yetarlicha kichik atrofidа F sirtni z=f(x,y) ko`rinishdagi tenglama orqali berish mumkin. Ma‘lumki, Р(0,0,0) nuqtadagi urinma tekislik tenglamasi

z=xfx(0,0)+yfy(0,0) (1)

ko`rinishda bo`ladi. Ikkinchi tomondan bu tekislik ХОУ koordinata tekisligi bo`lgani uchun uning tenglamasi

z=0 (2)

(1) va (2) tenglamalarni taqqoslab fx(0,0)=0, fy(0,0)=0 ekanini topamiz. Shuning uchun f(x,y) funktsiyaning koordinata boshi atrofidagi yoyilmasi

f(x,y)= (fxxx2+2fxyxy+fyyy2)+(x,y)(x2+y2) (3)

ko`rinishda bo`ladi. Bu yerda х,у0 да (х,у)0.

Shunday qilib koordinata boshi atrofida F sirtning tenglamasi

z= (fxxx2+2fxyxy+fyyy2)+(x,y)(x2+y2) (4)

ko`rinishda bular ekan.

Uchi koordinata boshida va o`qi 0Z o`qi bilan ustma-ust тушувчи xar qanday paraboloidni, xususan uni parabolik silindr yoki tekislikka buzilishini xam quyidagi

z=ax2+2bxy+cy2 (5)

tenglama orqali berish mumkin.

Endi agar yopishma paraboloid mavjud bo`lsa, uning yagona ekanligini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik (5) paraboloid yopishma paraboloid bo`lsin, u xolda ta‘rifga asosan,

(h/d2)=(| (fxxx2+2fxyxy+fyyy2)+(x,y)(x2+y2)|/x2+y2+f2(x,y))0

bo`ladi. Oxirgi tenglikda у=0 va х0 deb olib,

(h/d2)=| (fxx-a)|

ni topamiz. Bundan fxx=a ekani kelib chiqadi. Xuddi shuningdek fyy=c ekanini topamiz. Nixoyat х=у0 deb olsak fyy=b ni topamiz.

Shunday qilib, agar yopishma paraboloid mavjud bo`lsa, uning tenglamasi

r= (fxxх2+2fxyxy+fyyy2)

ko`rinishda bular ekan. Bundan uning yagonaligi kelib chiqadi.


Yüklə 49,5 Kb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2   3




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin