Skalyar və vektor fiziki kəmiyyətlər. Vektorlar üzərində əməllər

Skalyar və vektor fiziki kəmiyyətlər.Vektorlar üzərində əməllər
Aydın məsələdir ki, təbiət qanunları elə formada yazılmalıdır ki, koordinat sisteminin seçilməsindən asılı olmasın. Seçdiyimiz koordinat sistemində nöqtənin vəziyyəti, koordinat oxları üzrə proyeksiyası uyğun olaraq x, y, z-ə bərabər olan radius vektoru ilə verilir. Beləliklə, radius vektoru özünün üç proyeksiyası ilə tamamilə birqiymətli olaraq təyin edilə bilər. Bu məsələ, digər üç ədəd, r uzunluğu və iki  və  bucaqları ilə də həll edilə bilər. Bu sferik koordinat sistemi adlanır (şəkil 1.4).
Dekart koordinatları sferik koordinatlarla aşağıdakı ifadələrlə əlaqədardırlar:
z= rcos; x= rsin cos (1.1 ); y= rsin sin
Koordinat oxları boyunca yönəlmiş üç vahid vektorları (vahid ortlar) daxil etsək, onda radius vektorunu üç vektorun cəmi şəklində göstərmək olar:

Bu, hələ məktəbdən bizə məlum olan vektorların paraleloqram qaydasına görə toplanması qanunundan alınır (şəkil1 1.5)
vektorunu öz-özünə skalyar vurmaqla onun uzunluğunu tapmaq olar. Məktəbdən bildiyimiz kimi iki və vektorunun skalyar hasili
vektorların uzunluğu hasilinin, onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinə bərabərdir. Aydındır ki, əgər iki vektor birbirinə perpendikulyardırsa onda, onların skalyar hasili sıfra bərabərdir. radius vektorunun öz-özünə skalyar hasili

belə ki,
(bucaq sıfıra bərabərdir). Digər tərəfdən

, , vektorlarının qarşılıqlı ortoqonallığına görə onların skalyar hasili sıfra bərabərdir

Yekunda bu nəticəyə gəlirik ki, vektorun uzunluğunun kvadratı onun proyeksiyalarının kvadratları cəminə bərabərdir:

Anoloji şəkildə isbat edə bilərik ki,

Buna asanlıqla nail olmaq üçün vektorların hər birini

şəklində yazmaq (analoji olaraq vektoru üçün), sonra onları bir-birinə skalyar vurmaq və (1.6) ifadəsindən istifadə etmək lazımdır. və vektorlarının vektorial hasili [ , ] aşağıdakı kimi təyin edilir:
1) [ , ] vektoru və vektorlarının yerləşdiyi müstəviyə perpendikulyar olub, ] vektorları bir birinə nəzərən sağ koordinat sisteminin x, y, z oxlarının müsbət istiqamətində yönəlmişlər (şəkil 1.6); 2) mütləq qiymətinə görə o vurulan vektorların mütləq qiymətləri ilə onlar arasındakı bucağın sinusu hasilinə bərabərdir

Göstərmək olar ki, vektorial hasilin mütləq qiyməti vurulan vektorlar üzərində qurulan paralleloqramın sahəsinə bərabərdir (şəkil 1.6)
Vektorial hasil aşağıdakı xassələrə də malikdir: