Soyad: Əliyeva

Qərbi Kaspi Universiteti





Sərbəst iş

Ad: Maisə
Soyad: Əliyeva
Fakultə: İqtisadiyyat
Qrup: 531İ
Fənn adı: Ehtimal Nəzəriyyəsi
Mövzu: Şərti ehtimal. Ehtimalların vurma teoremi.Asılı olmayan hadisələr.
Müəllim: Həbibov Sənan

Şərti ehtimal. Ehtimalların vurma teoremi.Asılı olmayan hadisələr.

Ş
ərti ehtimal – bir hadisənin baş verməsi halında digər bir hadisənin baş verməsi ehtimalıdır.

M
isal: işlənmiş maşınlar satılan “A” salonunda maşınların 90%-də kondisioner (AC), 40%-də GPS Naviqasiya sistemi var. 35% maşında isə həm kondisioner həm də GPS var. Kondisioner olan maşınlarda GPS olma ehtimalı nədir? Bizim tapmaq istədiyimiz ehtimal budur P(GPS | AC)
A və B hadisələri o zaman müstəqil hesab olur ki, birinin olma ehtimalı digərinin baş verməsi halından asılı olmasın. Bu təqdirdə, müstəqil hadisələrin ehtimalı aşağıdakı düstürla hesablanır:

A və B hadisələrinin hasili:

Əgər A və B hadisələri müstəqildirsə, onda P(A|B) = P(A) olduğundan, A və B hadisələrinin hasili aşağıdakı düsturla hesablanacaqdır:

A
hadisəsinin marjinal ehtimalı aşağıdakı düstürla hesablanır:

B
urda B1, B2, …, Bk həm toplu həm də müstəsna hadisələrdir.

şərti ehtimal Müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalı, çünki başqa bir şərt şərt olaraq meydana gəlir. Bu əlavə məlumat, bir şeyin baş verəcəyi algısını dəyişdirə bilər (dəyişdirə də bilməz).

Hər bir təsadüfi prosesi öyrənmək üçün müəyyən {Ω,F,P} ehtimal fəzası qurulur. Bu fəzada hadisələrin ehtimalı heç bir əlavə şərt qoyulmadan hesablanır. Belə hesablanan ehtimallar şərtsiz ehtimallar adlanır. Bəzən bir çox hadisələrin ehtimalını əlavə şərtlər daxilində hesablamaq lazım gəlir. B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin ehtimalına şərti ehtimal deyilir və P(A/B) ilə işarə olunur.

A hadisəsinin, B hadisəsinin baş verməsi şərtində P(A/B) şərti ehtimalı həmin hadisələrin hasilinin ehtimalının B hadisəsinin ehtimalına olan nisbətinə deyilir:

P(A/B)= P(AB) P(B)

Bu tərifin P(B)>0 olduqda mənası var. Ehtimalı 0 olan hadisəyə, yəni P(B)=0 olan B hadisəsinə nəzərən hadisələrin şərti ehtimalına baxılmır
Misal 1: Mən işə gedərkən mən iki işıqfor, A və B keçirəm. 

A-da dayanma ehtimalım 0.4-dür.

A-da dayanmalıyamsa, B-də dayanma ehtimalım 0.8-dir.

A-da dayanmıramsa, B-də dayanma ehtimalım 0.3-dür. 

A və B-nin hər ikisində dayanma ehtimalım nə qədərdir? 

Ən azı bir dəfə dayanma ehtimalımı hesablayın.

P (dayanma və dayanma)	= 0.4 x 0.8
	= 0.32
P (A-da dayanmama)	= 1 – 0.4
	= 0.6
P (B-də dayanmama)	= 1 – 0.3
	= 0.7

P (ən azı bir dəfə dayanma)	= 1 – P (heç bir)
	= 1 – (0.6 x 0.7)
	= 0.58

Misal 2: Behbud və Cavid üç tennis seti oynayırlar. Behbudun birinci seti udma ehtimalı 0.4-dür.

Behbud seti udursa, onun növbəti udma ehtimalı 0.7-dir. 

Cavid seti udursa, onun növbəti udma ehtimalı 0.8-dir. 

a) Cavidin bütün setləri udma ehtimalını hesablayın. 

P (Cavid 3 set udur)	= 0.4 x 0.7 x 0.7
	= 0.196

b) Behbud ən azı bir set udması ehtimalını hesablayın. 

P (Behbud ən azı bir set udur)	= 1 – P (heç birini udmur)
	= 1 – 0.196
	= 0.804

Misal 3: Çantadakı6 mavi və 4 yaşıl diskdən iki disk birinci disk əvəz olunmadan seçilir. 

a) Eyni diski götürmək ehtimalı nə qədərdir? 

P (M) = 6/10 birinci disk üçün. P (M) = 5/9 ikinci disk üçün, çünki geridə yalnız 5 mavi və çantada 9 disk qalır.

Belə ki, P (MM) = 6/10 x 5/9 = 30 /90           

	P (YY) = 4/10 x 3/9 =12/90
	P (eyni rəng)	= 30/90 +12/90
		= 42/90
		= 7/15
b) İki müxtəlif rəngli disk çıxarmağın ehtimalı neçədir? ?
	P (MY)	= 6/10 x 4⁄9 = 24⁄90
	P (YM)	= 4/10 x 6⁄9 = 24⁄90
	P (müxtəlif rəng)	= 24⁄90 + 24⁄90
		= 48⁄90

Ehtimalların vurulma teoremi

İki hadisə çağırılır müstəqil,əgər onlardan birinin baş vermə ehtimalı başqa bir hadisənin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə. Əgər onların hər biri və hadisələrin qalan hissəsindən (bir hissəsi və ya hamısından) ibarət hər hansı birləşmə müstəqil hadisələrdirsə, bir neçə hadisə qarşılıqlı müstəqil (yaxud məcmuda müstəqil) adlanır. A 1, А 2, ..., А n hadisələri bir-birindən müstəqildirsə, onların əks hadisələri də qarşılıqlı müstəqildir. teorem: Bir-birindən asılı olmayan bir neçə hadisənin hasilinin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir. . P (A 1 A 2 ,...Ə n ) = P (A 1 )  P (A 2 )  ...  P (A n ) İki hadisə üçün P (AB) = P (A)  P (B) Tapşırıq... İki əmtəə meneceri bir-birindən müstəqil işləyirlər. İlk satıcının qüsurlu məhsulu əldən vermə ehtimalı 0,1; ikinci 0,2. Məhsula baxarkən hər iki mal menecerinin evliliyi qaçırmayacağı ehtimalı nədir. Həll: A hadisəsi - nikah I əmtəə eksperti tərəfindən buraxılmışdır, B hadisəsi - nikah II əmtəə eksperti tərəfindən buraxılmışdır. A hadisəsi - nikah I əmtəə eksperti tərəfindən qaçırılmadığı yerdə, hadisə B - nikah qaçırılmayacaq II mal eksperti. Hər ikisi bir-birindən müstəqil işlədiyi üçün A və B müstəqil hadisələrdir. B hadisəsi adlanır asılılıq A hadisəsindən, əgər A hadisəsinin baş verməsi B hadisəsinin baş vermə ehtimalını dəyişirsə. A hadisəsinin baş verməsi şərti ilə tapılan B hadisəsinin ehtimalı deyilir şərti ehtimal hadisə B və P A (B) ilə işarələnir. teorem : A və B iki asılı hadisənin birgə baş vermə ehtimalı, birinci hadisənin artıq baş verdiyi fərziyyəsi ilə tapılan onlardan birinin ehtimalının digərinin şərti ehtimalına hasilinə bərabərdir, yəni. P (AB) = P (A) R A (B) və ya P (AB) = P (B) P V (A) Ehtimalların çoxaldılması teoremi A 1 A 2 ... A m asılı hadisələrin istənilən m sayına qədər genişləndirilə bilər. P (A 1 A 2 ..A m ) = P (A 1 )  üstəlik, sonrakı hadisənin baş vermə ehtimalı bütün əvvəlki hadisələrin baş verməsi ehtimalı əsasında hesablanır. Tapşırıq. Qutuda 2 ağ və 3 mavi tutacaq var. Qutudan ardıcıl olaraq iki tutacaq çıxarılır. Hər iki qələmin ağ olması ehtimalını tapın. Həll yolu: A hadisəsi - hər iki tutacaq ağ rəngdədir, B hadisəsi - birinci ağ sapın görünüşü, C hadisəsi - ikinci ağ sapın görünüşü. Sonra A = B İLƏ. İlk tutacaq qutuya qayıtmadığı üçün, yəni. qutunun tərkibi dəyişdi, onda B və C hadisələri asılıdır. P (B) = 2/5; C hadisəsinin ehtimalını B-nin artıq baş verdiyi fərziyyəsi altında tapırıq, yəni. Р B (С) = ¼. İki müstəqil hadisənin hasilinin ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir: P (AB) = P (A) P (B). Misal 2.17. Birinci və ikinci silahdan atəş açarkən hədəfi vurma ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir: səh 1 = 0,7; səh 2= 0,8. Bir yaylım atəşi ilə (hər iki silahdan) silahlardan ən azı birini vurma ehtimalını tapın. Həll. Silahların hər birinin hədəfi vurma ehtimalı digər silahdan atəşin nəticəsindən asılı deyil, buna görə də hadisələr A- "ilk silahın vuruşu" və V- "ikinci silahın vuruşu" müstəqildir. Hadisə ehtimalı AB- "hər iki silah dəydi": Ehtimal axtarışı P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94. Ehtimalların vurma teoremi NS hadisələr.n hadisənin hasilinin ehtimalı onlardan birinin bütün digər hadisələrin şərti ehtimalları ilə hasilinə bərabərdir və bütün əvvəlki hadisələrin baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanır: Misal 2.18... Qabda 5 ağ, 4 qara və 3 mavi top var. Hər bir test bir topu geri qaytarmadan təsadüfi olaraq çıxarmaqdan ibarətdir. Birinci sınaqda ağ topun (A hadisəsi), ikincidə qara (B hadisəsi) və üçüncüdə mavi (C hadisəsi) görünməsi ehtimalını tapın. Həll. İlk sınaqda ağ topun görünmə ehtimalı: İkinci sınaqda qara topun görünmə ehtimalı, ilk sınaqda ağ topun görünməsi ehtimalı ilə hesablanmış, yəni şərti ehtimal: Üçüncü sınaqda mavi topun görünmə ehtimalı, birinci sınaqda ağ topun, ikincidə isə qara topun görünməsi ehtimalı, yəni şərti ehtimal: Axtarılan ehtimal: Ehtimalların vurma teoremi NS müstəqil hadisələr.N müstəqil hadisənin hasilinin ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir: P (A 1 A 2 ... A p) = P (A 1) P (A 2) ... P (A p). Hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalı. A 1, А 2, ..., А п hadisələrinin ən azı birinin baş vermə ehtimalı məcmudan asılı olmayaraq əks hadisələrin ehtimallarının məhsulu ilə vahid arasındakı fərqə bərabərdir.: . Misal 2.19.Üç silahdan atəş açarkən hədəfi vurma ehtimalları belədir: səh 1 = 0,8; səh 2 = 0,7;səh 3= 0,9. Ən azı bir vuruş ehtimalını tapın (hadisə A) bütün silahlardan bir yaylım atəşi ilə. Həll. Silahların hər birinin hədəfi vurma ehtimalı digər silahlardan atəşin nəticələrindən asılı deyil, buna görə də sözügedən hadisələr A 1(ilk silahla vuruldu), A 2(ikinci silahla vuruldu) və A 3(üçüncü silahla vurulan) cəmi müstəqildir. Hadisələrin əksinə olan hadisələrin ehtimalları A 1, A 2 və A 3(yəni qaçırma ehtimalları) müvafiq olaraq bərabərdir: , , . Axtarılan ehtimal: Müstəqil hadisələr olarsa A 1, A 2, ..., A p eyni ehtimala bərabərdir R, onda bu hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalı düsturla ifadə edilir: P (A) = 1 - q n, harada q = 1
Asılı olmayan hadisələr


Torbada 2 qırmızı, 1 sarı kürə var. Təsəvvür edin ki, siz torbadan dalbadal iki kürə çıxarmalısınız. Hər dəfə çıxarılan kürənin rəngini qeyd edin və kürəni yenidən torbaya qaytarın. Rənglərin baş hərfi ilə qeyd etməklə mümkün hadisələrin sayını tapmaq üçün şaxələnmə diaqramını tamamlayın.Dalbadal qırmızı kürənin çıxma ehtimalını tapın.
Bir hadisənin baş verməsi digər hadisənin baş verməsi imkanlarına təsir etmirsə, belə hadisələrə asılı olmayan hadisələr deyilir. Məsələn, zər və qəpik pul eyni zamanda atıldıqda zərdə hansı üzün düşməsi qəpik pulun xəritə və ya rəqəm üzünün düşməsi hadisəsindən asılı deyil. 
Asılı olmayan iki və daha çox hadisənin ehtimalı bu hadisələrin ehtimalları hasilinə bərabərdir: P (A və B) = P(A) · P(B) düsturu P (A ∩ B) = P(A) · P(B) kimi də yazılır. Oxşar qayda ilə üç asılı olmayan hadisə üçün: P(A, B və C) = P(A) · P(B) · P(C)
Təsəvvür edin ki, torbada yenə də 2 qırmızı və 1 sarı kürə var. Siz hər dəfə torbadan bir kürə çıxarıb rəngini qeyd edirsiniz, lakin kürəni torbaya qaytarmırsınız. Rənglərin baş hərfi ilə qeyd etməklə mümkün elementar hadisələrin sayını tapmaq üçün şaxələnmə diaqramını tamamlayın. Dalbadal qırmızı kürə çıxma ehtimalını tapın.
Bir hadisənin baş verməsi digər hadisənin başverməsi imkanlarına təsir edirsə, bu hadisələrə asılı hadisələr deyilir. Məsələn, torbadakı 100 kartdan 10 kart hədiyyəlidirsə, 1-ci cəhddən bir nəfərin hədiyyəli kartı çıxarması, digər şəxsin hədiyyəli kartı çıxarma hadisəsinə təsir edir. İki asılı A və B hadisəsinin ehtimalı A hadisəsinin ehtimalı ilə A hadisəsi baş verdikdən sonra B hadisəsinin baş verməsi ehtimalı hasilinə bərabərdir.
P (A və B) = P(A) · P (A hadisəsindən sonra B-nin baş verməsi)