Тенгсизликни šаноатлантирса ва

7-§. Funksional qatorlar yig’indisining hamda funksional ketma-ketlik limit funksiyasining funksional xossalari
7.1. Funksional qator yig’indisining uzluksizligi. to’plamda yaqinlashuvchi
(7.1)
funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi bo’lsin.
7.1-teorema. Agar (7.1) qatorning har bir hadi to’plamda uzluksiz bo’lib, qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qatorning yig’indisi ham to’plamda uzluksiz bo’ladi.
7.1-eslatma. 7.1-teoremadagi (7.1) qatorning da tekis yaqinlashuvchilik sharti funksional qator yig’indisi ning uzluksiz bo’lishi uchun yetarli shart bo’ladi, lekin zaruriy shart bo’la olmaydi.
7.1-misol. Ushbu

funksional qatorning da notekis yaqinlashishini, lekin uning yig’indisi da uzluksiz funksiya bo’lishini ko’rsating.
Yechilishi. Berilgan funksional qatorning qismiy yig’indisini topamiz:

Endi da funksiyaning limitini hisoblaymiz:
.

Demak, berilgan funksional qatorning yig’indisi da uzluksiz funksiya ekan. Ammo, berilgan qator da tekis yaqinlashuvchi emas. Haqiqatan ham,

Shuning uchun, qator da o’zining yig’indisiga tekis yaqinlashmaydi.
7.2-misol. Ushbu

funksional qatorning yig’indisini da uzluksizlikka tekshiring.
Yechilishi. Berilgan funksional qatorning har bir hadi da uzluksiz bo’lib, bu funksional qator da, Veyershtrass alomatiga ko’ra, tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Haqiqatan ham, va lar uchun

va sonli qator yaqinlashuvchi. Haqiqatan ham, bo’lganda . Demak, 7.1-teoremaga asosan, berilgan funksional qatorning yig’indisi da uzluksiz funksiya bo’ladi.
7.3-misol. Ushbu

funksiyaning aniqlanish sohasini toping va uzluksizlikka tekshiring.
Yechilishi. Koshi alomatiga asosan funksional qatorning yaqinlashish sohasini topamiz:

agar bo’lsa, funksional qator yaqinlashuvchi bo’ladi;
agar bo’lsa, funksional qator uzoqlashuvchi bo’ladi, chunki qator yaqinlashuvchi bo’lishining zaruriy sharti bajarilmaydi, ya’ni qatorning umumiy hadi nolga intilmaydi.
Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi bo’ladi. Funksional qatorning har bir hadi da uzluksiz.
Endi da funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. Agar bo’lsa, u holda berilgan funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Haqiqatan ham, Veyershtrass alomatiga asosan, barcha va lar uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi, hamda

sonli qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
Demak, 7.1-teoremaning hamma shartlari baajarilayapti, u holda funksiya da uzluksiz bo’ladi.
7.2. Funksional ketma-ketlik limit funksiyasining uzluksizligi. to’plamda :

funksional ketma–ketlik berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin, ya’ni
.
7.2-teorema. Agar funksional ketma–ketlikning har bir hadi to’plamda uzluksiz bo’lib, bu (7.2) funksional ketma–ketlik to’plamda ga tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda limit funksiya ham da uzluksiz bo’ladi.