Funksiya hosilalari yordamida uning nuqtalarini topish osonlashadi. Avval ning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz, shu nuqtada ga ega bolsa, u holda bu nuqtada f(x) funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.
Isboti. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bolsin. U holda x0 nuqtaning shunday (x0-(; x0+() atrofi mavjud bolib, bu atrofdan olingan (x uchun f(x0)>f(x) boladi. Agar x>x0 bolsa, u holda <0 tengsizlik, agar x0 tengsizlik orinli bolishi ravshan.
Isboti. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bolsin. U holda x0 nuqtaning shunday (x0-(; x0+() atrofi mavjud bolib, bu atrofdan olingan (x uchun f(x0)>f(x) boladi. Agar x>x0 bolsa, u holda <0 tengsizlik, agar x0 tengsizlik orinli bolishi ravshan.
Agar funksiyaning chap f(x0-0) va ong f(x0+0) hosilalari nolga teng bolsa, u holda funksiya hosilasi f(x0) mavjud va nolga teng boladi.
Agar funksiyaning chap f(x0-0) va ong f(x0+0) hosilalari nolga teng bolsa, u holda funksiya hosilasi f(x0) mavjud va nolga teng boladi.
Agar f(x0-0) va f(x0+0) lar noldan farqli bolsa, ravshanki f(x0+0)
Funksiya x0 nuqtada minimumga ega bolgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Teorema isbot boldi.
Funksiya x0 nuqtada minimumga ega bolgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Teorema isbot boldi.
1-misol. Malumki, f(x)=|x| funksiyaning x=0 da hosilasi mavjud emas. Bu funksiya x=0 nuqtada minimumga ega
1-misol. Malumki, f(x)=|x| funksiyaning x=0 da hosilasi mavjud emas. Bu funksiya x=0 nuqtada minimumga ega
Tarif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar yoki hosila mavjud bolmaydigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi. Funksiya hosilasi nolga teng bolgan nuqtalar statsionar nuqtalar deb ataladi.
Tarif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar yoki hosila mavjud bolmaydigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi. Funksiya hosilasi nolga teng bolgan nuqtalar statsionar nuqtalar deb ataladi.
Har qanday kritik nuqta funksiyaning nuqtasi bolavermaydi.
Masalan, f(x)=(x-1)3, f(x)=3(x-1)2, f(1)=0 bolib, x0=1 kritik nuqta. Lekin x0=1 nuqtaning ixtiyoriy atrofida f(1)=0 eng kichik, yoki eng katta qiymat bola olmaydi. Chunki har bir atrofda noldan kichik va noldan katta qiymatlar istalgancha bor.
Masalan, f(x)=(x-1)3, f(x)=3(x-1)2, f(1)=0 bolib, x0=1 kritik nuqta. Lekin x0=1 nuqtaning ixtiyoriy atrofida f(1)=0 eng kichik, yoki eng katta qiymat bola olmaydi. Chunki har bir atrofda noldan kichik va noldan katta qiymatlar istalgancha bor.
