Üç məchullu üç tənlikli xətti tənliklər sistemi. Kramer qaydası

Üç məchullu üç tənlikli xətti tənliklər sistemi. Kramer qaydası
Fərz edək ki,


(1)

Tənliklər sistemi verilmişdir - verilmiş ədədlər, isə sistemin məchullarıdır.

olduqda (1) sistemi bircins, əks halda, yəni və ədədlərindən heç olmazsa biri sıfırdan fərqli olarsa, -qeyri-bircins adlanır.
,

və

(1) sisteminin baş () və köməkçi ( ) determinantları adlanır. Qeyd edək ki, köməkçi determinantı baş determinantda -ci sütün elementlərini sistemin sərbəst hədləri ilə əvəz etməklə alınır.

(1) sisteminin tənliklərini uyğun olaraq determinantının birinci sütun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına vurub tərəf-tərəfə toplayaq:

Determinantların xassə 9-a görə bu bərabərlikdə

Onda məchulları iştirak etməyən

tənliyini alarıq. Analoji qayda ilə (1) tənliklərini əvvəl cəbri tamamlayıcılarına vurub toplasaq məchullarını, sonra isə -ə vurub toplasaq, məchullarını yox etmiş olarıq. Nəticədə (1) sistemi ilə eynigüclü

(2)

Tənliklər sistemini alarıq.

olarsa, (1) sisteminin həlli


və . (3)

Düsturları ilə tapılır. Bu düsturlara Kramer düsturları deyilir.

Beləliklə, belə nəticəyə gəlirik.
Kramer qaydası. Əgər (1) tənliklər sisteminin baş determinantı sıfırdan fərqlidirsə, onda onun (3) düsturları ilə ifadə olunan həlli var və yeganədir.


Üç məchullu üç xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli.


(1)
tənliklər sisteminə baxaq.

Işarə edək və fərz edək ki, . Bu sistemi

(2)

Matris bərabərliyi şəklində yazaq və soldan tərs matrisinə vuraq:

Sonuncunu açıq şəkildə yazsaq,

bərabərliyini alarıq. Determinantın sətr elementlərinə görə ayrılışı xassəsindən (Xassə 9)

burada , (1) sisteminin köməkçi determinantlarıdır. Onda

. (3)

Bu isə Kramer düsturlarının matris şəklində yazılışıdır.

Beləliklə, olduqda (2) matris tənliyinin həlli var və (3) Kramer düsturları ilə tapılır.
Xətti tənliklər sisteminin Hauss üsulu ilə həlli.
Öətti tənliklər sisteminin tənliklərinin və məchullarının sayı çox olduqda onu Kramer üsulu ilə həll etmək əlverişli olmur, çünki bu zaman yüksək tərtibli determinantları hesablamaq lazım gəlir. Məsələn,

tənliklər sisteminin təkcə baş determinantını hesablamaq üçün dörd üçtərtibli determinant hesablamaq lazım gəlir:

,
burada

Xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün praktiki olaraq daha çox Hauss üsulu adlanan üsuldan istifadə olunur. Bu üsulun mahiyyəti məchulları ardıcıl yox etməkdən ibarətdir.
Fərz edək ki, н məchullu м tənliklərdən ibarət xətti tənliklər sistemi verilmişdir:


(1)

Bu sistemin tənlikləri üzərində aşağıdakı elementar çevirmələr apardıqda alınan tənliklər sistemi (1) sistemi ilə eynigüclü olacaqdır:

1) sistemin tnliklərinin yerini dəyişdikdə;
2) sistemin hər hansı tənliyini sıfırdan fərqli istənilən ədədə vurduqda;
3) sistemin hər hansı iki tənliyi tərəf-tərəfə topladıqda;
4) sistemin sol tərəfinin hər hansı iki sütununun yerini dəyişdikdə;
5) sistemin hər hansı iki tənliyi mütənasib olarsa, bu tənliklərdən biri atıldıqda.
1)-5) elementar çevirmələri aparmaqla (1) sistemindən məchulları ardıcıl yox etmək olar. Sistem üzərində bu elementar çevirmələri aparmaq üçün yazılışları sadələşdirmək maqsədi ilə sistemin genişlənmiş matrisi adlanan

matrisi qurulur və çevirmələr B matrisi üzərində aparılır. Bu zaman B matrisini mümkün olan elə sadə şəklə gətirmək lazımdır ki, sistemin həlli birbaşa alınsın.

Hauss üsulunu


(2)

tənliklər sisteminə tətbiq edək. İkinci və üçüncü tənlikdən birinci tənliyi çıxsaq,

(3)

tənliklər sistemini alarıq. Bu sistemin üçüncü tənliyini 3-ə vurub ikinci tənliklə toplasaq

(4)

sistemi alınar. İkinci tənlikdən məchulunu tapıb üçüncü tənlikdə yerinə qoysaq -ni, və -ü birinci tənlikdə yerinə qoysaq i tapmış olarıq. Beləliklə,

və

(2) sisteminin həllidir. Aparılan çevirmələr nəticəsində (2), (3) və (4) sistemləri eynigüclü olduğundan tapılan həll (2) sisteminin də həllidir.

İndi bu çevirmələr ardıcıllığını (2), (3) və (4) sistemlərinin genişlənmiş matrisləri vasitəsi ilə sadə şəkildə belə yazmaq olar:


. (5)


Deməli, tənliklər sistemini Hauss üsulu ilə həll etmək üçün (5) şəklində sadə yazılış sxemini tətbiq etmək kifayətdir.