Учебное пособие по курсу «Интеллектуальные системы управления»

Министерство образования Российской Федерации 
Владимирский государственный университет 
 
 
 
 
 
 
В.Г. ЧЕРНОВ 
 
 
 
 
НЕЧЕТКИЕ КОНТРОЛЛЕРЫ. 
ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ПОСТРОЕНИЯ 
 
Учебное пособие по курсу 
«Интеллектуальные системы управления» 
 
 
Рекомендовано 
УМО по образованию в области радиотехники, биомедицинской техники 
и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Владимир 2003
 

 
2 
УДК 658.562.3 
         Ч49 
 
Рецензенты: 
 Доктор физико-математических наук, профессор зав.кафедрой электро-
техники и микропроцессорной техники Московского государственного 
института стали и сплавов (технологического университета) 
Ф.И. Маняхин 
 
Доктор технических наук, профессор зав кафедрой прикладной математи-
ки и САПР Ковровской государственной академии 
А.С. Шалумов 
 
 
 
Печатается по решению редакционно-издательского совета 
Владимирского государственного университета 
 
 
 
    Чернов В.Г. 
Ч49 Нечеткие контроллеры. Основы теории и построения: Учеб. пособие 
по курсу «Интеллектуальные системы управления» / Владим. гос. ун-т. 
Владимир, 2003. 148 с. 
   ISBN 5-89368-384-6 
Изложены  основы  теории  нечетких  множеств,  нечеткой  логики,  методы  выпол-
нения арифметических операций над нечеткими числами. Описаны основные принци-
пы построения нечетких контроллеров и варианты их реализации, а также средства для 
проектирования  и  моделирования  нечетких  контроллеров.  Приведены  примеры  при-
менения нечетких контроллеров. 
Предназначено  для  студентов,  обучающихся  по  специальности 210100 – управ-
ление и информатика в технических системах, а также может быть использовано сту-
дентами родственных специальностей. 
 Табл 3. Ил. 103. Библиогр.: 38 назв
. 
УДК 658.562.3 
 
ISBN 
5-89368-384-6 
   
© 
Владимирский государственный 
          
университет, 2003 

 
3
 
Оглавление  
Введение .............................................................................................................. 5 
Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ............................... 7 
1.1. Нечеткие множества. Определение............................................. 7 
1.2. Лингвистическая и нечеткая переменные ................................ 10 
1.3. Основные методы построения функций принадлежности ..... 13 
1.4. Прямые методы одного эксперта............................................... 17 
1.5. Операции над нечеткими множествами ................................... 24 
1.6. Формализованное представление отношений.......................... 29 
1.7. Нечеткая логика........................................................................... 34 
1.8. Нечеткие числа. Математика нечетких чисел.......................... 37 
1.9. Нечеткие выводы......................................................................... 46 
Глава 2. НЕЧЕТКИЕ КОНТРОЛЛЕРЫ .......................................................... 51 
2.1. Общие принципы построения.................................................... 51 
2.2. Фазификация. Средства реализации ......................................... 58 
2.3. Средства воспроизведения функций принадлежности ........... 61 
2.4. Организация обработки правил 
 условного логического вывода ........................................................ 72 
2.5. Организация процессоров обработки правил 
условного вывода ....................................................................... 84 
2.6. Формирование управляющего воздействия 
(дефазификация)......................................................................... 88  
2.7. Составление правил нечеткого управления ............................. 92 
Глава 3. ТЕХНИЧЕСКИЕ И ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА 
              ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОГО УПРАВЛЕНИЯ ..................... 94 
3.1. Контроллеры для реализации нечеткого управления ............. 94 
3.2. Программные средства нечеткого управления ........................ 96 

 
4 
Глава 4. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ 
              АЛГОРИТМОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ............................... 112 
4.1. Нечеткая система управления доменной печью .................... 112 
4.2. Использование нечетких алгоритмов управления 
 в автомобильных системах............................................................. 128 
4.3. Нечеткое управление концентрационным режимом 
 алюминиевых электролизеров ....................................................... 131 
4.4. Принципы адаптации в нечетком управлении....................... 139 
Библиографический список........................................................................... 144 
 
 

 
5
 
 
 
 
 
 
Общепринятые 
количественные 
методы  непригодны  для  задач 
принятия  решений,  содержащих 
нечеткость.  Поскольку  теория             
решений  все  больше  проникает             
и в организационные, и в сложные 
технические  системы,  нечеткость 
становится 
преобладающим      
фактором при их описании. 
  
 Р. Ягер 
 Введение 
Для развития новой отрасли науки необходимо четыре условия: об-
щественная  потребность,  новая  методология  (идеи,  техника),  активность 
исследователей и интерес потенциальных пользователей.  
В отношении теории нечетких множеств все эти условия присутст-
вуют  в  полной  мере.  Общественная  потребность  возникла  в  связи  с  тем, 
что попытки решения ряда задач управления на основе строгих математи-
ческих методов в классической теории управления оказались неудачными. 
Объяснить  это  можно  опираясь  на  сформулированный  Л.  Заде  принцип 
несовместимости, согласно которому с увеличением размерности и слож-
ности  системы  существенно  усложняется  ее  моделирование  с  помощью 
известных  математических  соотношений.  Другими  словами,  при  исполь-
зовании формул существенно возрастает число переменных и параметров, 
при этом их измерение и определение сильно затрудняются. В этой связи 
создание  полностью  адекватной  модели  становится  практически  невоз-
можным. 
В то же время было отмечено, что опытные операторы технологиче-
ских  установок,  опытные  руководители,  опираясь  на  опыт,  интуицию, 

 
6 
собственные  представления  о  целях  управления,  осуществляют  процесс 
управления так, что результаты оказываются достаточно близкими к тем, 
которые  теоретически  могли  бы  обеспечить  самые  мощные  оптимизаци-
онные  методы.  Важным  обстоятельством  при  этом  является  то,  что  ука-
занные лица формулируют модели поведения управляемых ими систем и 
принципы выработки управляющих воздействий в виде словесных конст-
рукций.  
В 1965 году  профессор  Лотфи  Заде  предложил  лингвистическую 
модель, в основу которой положены не математические выражения, а сло-
ва,  отражающие  качество.  Теоретическое  оформление  этот  подход  полу-
чил  в  виде  теории  нечетких  множеств,  которая  позволила  описывать  не-
четкие  понятия  и  знания,  оперировать  ими  и  делать  выводы.  За  прошед-
шее время теория нечетких множеств прошла путь от почти антинаучной 
теории,  практически  отвергнутой  в  Европе  и  США,  до  ситуации,  когда 
системы  нечеткого  управления  стали  применяться,  начиная  от  бытовых 
приборов до сложных объектов управления типа космических кораблей и 
ракет-перехватчиков. 
Вместе с тем все заметнее стал тот факт, что освоение этих методов 
осуществлялось бы гораздо проще и быстрее, если бы в распоряжении по-
тенциальных  пользователей  было  бы  больше  доступной  литературы  по 
этим вопросам. К сожалению, большинство работ в этой области написано 
профессиональными  математиками  и  посвящено  в  большей  степени  тео-
ретическим вопросам. Примеры, приводимые в этих работах, либо слиш-
ком условны, либо схематичны. 
Вышедшая в издательстве 
″Мир″ в 1993 году работа Т. Тэрано и со-
авторов во многом устраняет эти недостатки. Но, с другой стороны, при-
званная  стимулировать  интерес  к  прикладным  аспектам  теории  нечетких 
множеств, она все же требует для изучения и освоения изложенного мате-
риала  достаточно  серьезной  подготовки,  и  кроме  этого  она  практически 
недоступна в связи с ограниченностью тиража. 
Предлагаемое  пособие  представляет  собой  попытку  уменьшить  де-
фицит в учебной литературе по тематике нечеткого управления, так как в 
основной  массе  издания  соответствующего  направления  представлены 
публикациями  в  периодической  печати,  а  известные  монографии  имеют 
либо  теоретический  характер,  либо  просто  недоступны  студентам  из-за 
ограниченных по объему тиражей.  

 
7
 
 
 
 
 
Глава 1 
 
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 
1.1. Нечеткие множества 
К  классической  теории  множеств  в  общем  случае  относятся  аксио-
матическая  теория  множеств  и  элементарная  теория  множеств.  Первая – 
одна из фундаментальных теорий математики. В нашем случае нам доста-
точно некоторых положений элементарной теории, которую в дальнейшем 
будем называть теорией четких множеств. 
Рассматривая управление в самом общем смысле этого слова, с по-
зиции  теории  четких  множеств  можно  представить  процесс  управления 
как  задание  правил  соответствия  между  элементами  множеств  входных 
параметров 
}
I
,
1
i
:
x
{
X
i
=
=
  и  элементами  множества  выходных  пара-
метров 
J
I
},
J
,
1
j
:
y
{
Y
j
≠
=
=
. В теории множеств в этом случае считается 
заданным отображение 
 Y.
X
:
Г
→
                                               (1.1) 
В различных приложениях отображение (1.1) может быть определе-
но самыми различными способами: в виде таблиц, графиков, алгебраиче-
ских или дифференциальных уравнений, при этом общим для них всех яв-
ляется то обстоятельство, что в отображении (1.1) участвуют только эле-
менты, обязательно принадлежащие множествам X и Y. В теории четких 
множеств это определяется заданием характеристической функции. Пусть 
U – универсальное множество
*
 и X – множество в пространстве U, тогда 
характеристическая функция множества X определится следующим образом 
(рис. 1.1). 
                                                           
*
 
Множество U называется универсальным, если для любого 
U
X
⊂
 выполня-
ется условие 
X
U
X
=
I
. Универсальное множество описывается функцией принад-
лежности 
U
x
,
1
)
x
(
u
∈
∀
=
µ
.
 

 
8 
Например, для множества X чисел 
2
4
≤
≤
x
 характеристическая функ-
ция имеет вид, представленный рис. 1.2.  
 
            



∉
∈
=
X
x
X
x
x
X
,
0
,
1
)
(
 
 
 
                    Рис. 1.1 
 
Естественно, что при таком подходе нет места предположению, что 
x  находится  приблизительно  в  пределах  от 2 до 4. Для  разрешения  этой 
ситуации Л. Заде [16] расширил двузначную оценку 0 или 1 до неограни-
ченной многозначной оценки выше 0 и ниже 1 на [0,1] и впервые ввел по-
нятие  нечеткого  множества,  заменив  характеристическую  функцию  на 
функцию   принадлежности  (рис. 1.3),  которая  может  принимать  любые 
значения в интервале [0,1] для 
x
X
∈
. В соответствии с этим элемент x 
i 
множества U может не принадлежать X 
(
)
µ
x
= 0 , может быть элементом 
X  в  небольшой  степени  (
µ
x
  близко  к  нулю),  может 
более  или  менее  принадлежать X (
µ
x
  не  слишком 
близко  к 0, не  слишком  близко  к  единице),  может 
быть в значительной степени элементом X (
µ
x
 близ-
ко к единице) или, наконец, может быть элементом Х 
(
µ
x
=1).  Таким  образом,  мы  можем  создать  матема-
тическую  структуру,  которая  позволяет  оперировать 
с относительно неполно определенными элементами, 
принадлежность которых к данному подмножеству лишь в какой-то мере 
иерархически упорядочена. Множество значений х, на котором определе-
на  функция  принадлежности,  получило  название  нечеткого  множества. 
Более строгое определение имеет следующую формулировку. 
Рис.1.
3
Рис. 1.2.  
Рис. 1.3 

 
9
Пусть U – универсальное  множество,  тогда  нечетким  множеством 
~
X
  на  множестве U называется  совокупность  пар  вида 
( )
~
{
}
X
x x
X
= µ
, 
где 
( )
µ
x
x
 – функция принадлежности. 
Чаще  всего  определение  нечеткого  множества  объясняют  следую-
щим образом: величина 
( )
µ
x
x
 обозначает субъективную оценку степени 
принадлежности х множеству Х, например, 
( )
µ
x
x
=0,8 означает, что х на 
80 % принадлежит Х.  
Теперь предположение, что х приблизительно лежит в пределах от 2 
до 4, может быть представлено соответствующей функцией принадлежно-
сти (рис.1.4). 
Носителем  нечеткого  множе-
ства называется множество элемен-
тов  х 
∈
 U, такое,  что  для  любого 
х
∈
 U, 
( )
µ
x
x
 > 0: 
}
0
µ
U,
x
x
{
SuppX
X
~
>
∈
∀
=
. 
Иными  словами,  носителем 
нечеткого  множества 
X
~
  является 
подмножество  универсального  множества U, для  элементов  которого 
функция принадлежности строго больше нуля. Нечеткое множество назы-
вают нормальным, если 
( )
1.
)
x
Sup(µ
X
=  
В противном случае нечеткое множество субнормальное. 
 
Очень важным результатом введения функции принадлежности яви-
лось то, что она позволила отразить субъективный взгляд на ту или иную 
ситуацию. 
Например,  разные  лица  могут  представить  приблизительное  равен-
ство х ≈ 2 совершенно по-разному (рис. 1.5). 
Рис. 1.4 

 
10 
Следовательно,  могут  и  должны  существовать  «моя  функция  при-
надлежности», «твоя функция принадлежности», «функция принадлежно-
сти эксперта» и т.д.  
Обратим  внимание  на  связь  четкого  и 
нечеткого  множеств.  Два  значения {0,1} при-
надлежат  замкнутому  интервалу [0,1]. Следо-
вательно,  четкое  множество  является  частным 
случаем  нечеткого  множества,  а  понятие  не-
четкого  множества – расширенным  понятием, 
охватывающим  и  понятие  четкого  множества. 
Таким  образом,  понятие  принадлежности  по-
лучает  интересное  обобщение,  приводящее,  как  мы  это  увидим,  к  очень 
полезным результатам.  
Нечеткое множество строго определяется с помощью функции при-
надлежности.  Понятие  функции  принадлежности,  по  существу,  является 
основным в теории нечетких множеств, и большинство приложений этой 
теории основано на различных операциях над функциями принадлежности.  
Кроме  функции  принадлежности  к  основным  понятиям  теории  не-
четких  множеств  относится  понятие  «лингвистическая  и  нечеткая  пере-
менные». 
1.2. Лингвистическая и нечеткая переменные 
Одной из областей применения теории нечетких множеств являются 
человеко-машинные системы управления. Осуществление диалога в таких 
системах немыслимо без использования языков, близких к естественному, 
способных описывать нечеткие категории, приближенные к человеческим 
понятиям и представлениям. В этой связи целесообразно использовать по-
нятие лингвистической переменной, введенной впервые Л. Заде [16]. По-
добные лингвистические переменные позволяют адекватно отразить при-
близительное словесное описание предметов и явлений в том случае, ко-
гда  точное  детерминированное  описание  отсутствует.  При  этом  следует 
учесть, что многие нечеткие категории, описанные лингвистически, зачас-
тую не менее информационны, чем точное описание. 
Рис. 1.5 

 
11
В качестве примера конкретная фраза: «температура воды равна +5 
0
С» 
может  быть  замена  приблизительной  фразой: «температура  воды  низкая».   
В этом смысле слово «низкая» можно рассматривать как лингвистическое 
значение переменной «температура», имея в виду при этом, что лингвис-
тическое значение играет такую же роль, как и численное значение «+5 
0 
С». 
То же самое можно сказать о лингвистических значениях «очень низкая», 
«чуть больше, чем низкая», «почти средняя» и т.д., если их сопоставить с 
численными значениями +3, +6.5, +12, ... . 
Совокупность  значений  лингвистической  переменной  составляет 
терм-множество  этой  переменной.  Это  множество  может  иметь,  вообще 
говоря,  бесконечное  число  элементов,  но  на  практике,  естественно,  оно 
конечно.  Например,  терм-множество  лингвистической  переменной  «тем-
пература» можно записать так: 
(температура)={очень низкая \/ почти низкая \/ низкая \/ почти средняя \/           
\/ средняя \/...\/ высокая \/ очень высокая}. 
Отметим, что в случае лингвистической переменной «температура» 
числовая  переменная  «температура»,  принимающая,  например,  значения 
[+3, +5, +6.5, +12, +17,...,+50, +70], является так называемой базовой пере-
менной  лингвистической  переменной  «температура».  Соответствующее 
множество значений называется множеством базовых значений, или базо-
вым  множеством.  При  этом  такое,  например,  лингвистическое  значение 
как «высокая» можно интерпретировать как название некоторого нечетко-
го ограничения на значение базовой переменной. Именно это ограничение 
будем  считать  смыслом  лингвистического  значения  «высокая».  Функция 
принадлежности  представляет  числовую  характеристику,  количественно 
определяющую  представление  субъекта  относительно  нечеткого  ограни-
чения.  
Таким образом, нечеткую переменную определяют ее название, об-
ласть определения, описание ограничений на возможные значения нечет-
кой переменной, которые задаются функцией принадлежности. 

 
12 
Формальное  описание  нечеткой  переменной  будет  представлено 
тройкой 
 < L, D, C
L 
>, 
где   L – наименование нечеткой переменной; 
D – область ее определения; 
С
L 
=
( )
}
x
x
{
L
µ
 – нечеткое множество на D. 
П р и м е р .  Пусть  температура  среды  оценивается  с  помощью  поня-
тий  «низкая», «средняя», «высокая»,  при  этом  минимальная  температура 
оценивается как +3 
0 
С, а максимальная +60 
0 
С. 
Функции принадлежности, соответствующие этим понятиям, приве-
дены на рис. 1.6. 
Тогда нечеткая переменная будет за-
дана следующей совокупностью:  
< температура, [ 3,60], 
( )
( )
( )
x
x
µ
,
x
x
µ
,
x
x
µ
3
2
1
>  
Чтобы  определить  лингвистическую 
перемененную,  необходимо  задать  ее  имя, 
множество  значений  (терм-множество), 
представляющих собой наименование нечетких переменных областью оп-
ределения, каждой из которых является множество D. Кроме этих опреде-
лений  необходимо  задать  правила,  с  помощью  которых  из  имеющихся 
элементов  терм-множеств  могут  получаться  новые,  а  также  правила,  со-
гласно которым значениям лингвистической переменной ставятся в соот-
ветствие нечеткие множества. Формально это представляется так: 
< L, T, D, G, M >, 
где L 
– 
наименование лингвистической переменной;  
T – множество  значений  лингвистической  переменной  (терм-
множество), определенное на D; 
G – грамматика,  совокупность  правил,  позволяющая  оперировать 
элементами  терм-множества  Т,  в  частности  генерировать  новые  осмыс-
ленные термы;  
Рис. 1.6 

 
13
М – процедура,  позволяющая  установить  соответствие  между  лин-
гвистическим значением и нечетким множеством, т.е. правила вычисления 
функции принадлежности нового значения, определенного G. 
Вернемся к примеру. Пусть определя-
ется  новое  значение – «малая  или  средняя 
температура». Грамматика G определяет пра-
вило  построения  нового  значения  (рис.  1.7),      
а  процедура  М – значения  новой  функции 
принадлежности 
(x)
µ
(x)
µ
(x)
µ
2
1
'
U
=
  (утол-
щенная кривая). 
 
1.3. Основные методы построения функций принадлежности 
В основе теории из любой области естествознания лежит очень важ-
ное основополагающе для ее построения понятие элементарного объекта. 
Например, для механики – это материальная точка, для электродинамики – 
это вектор напряженности поля, для теории автоматического управления – 
передаточная  функция.  Для  теории  нечетких  множеств  основополагаю-
щим понятием является понятие нечеткого множества, которое характери-
зуется функцией принадлежности. С помощью нечетких множеств можно 
строго  описывать  присущие  для  языка  человека  расплывчатые  понятия, 
«без формализации которых нет надежды существенно продвинуться впе-
ред в моделировании интеллектуальных процессов» [16]. Основной труд-
ностью,  мешающей  интенсивному  применению  теории  нечетких               
множеств  при  решении  практических  задач,  является  то,  что  функция 
принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, 
ее  адекватность  не  может  быть  проверена  непосредственно  средствами 
теории. В каждом в настоящее время известном методе построения функ-
ции  принадлежности  формулируются  свои  требования  и  обоснования  к 
выбору именно такого построения. 
Фиксирование  конкретных  значений  из  интервала [0,1], которыми 
оценивается  степень  принадлежности,  имеет  субъективный  характер.  С 
одной стороны, для экспертных методов существенным является характер 
µ