Umumlashgan funksiyalarning to`g`ri ko`paytmasi Reja

_{Umumlashgan funksiyalarning to`g`ri ko`paytmasi}
Reja:

1. Umumlashgan funksiyalarning to’g’ri ko’paytmasi va o’ramasi.

2. Musbat umumlashgan funksiyalar va o’lchovlar.

1.Umumlashgan funksiyalarning to’g’ri ko’paytmasi va o’ramasi.

1. 
   To’g’ri ko’paytma ta’rifi.
   

f x va
gx funksiyalar mos ravishda
Rⁿ va R^m

fazolarda lokal integrallanuvchi funksiyalar berilgan bo’lsin.
f x gx
ham

_Rn  m
fazoda lokal integrallanuvchi bo’lib, x, y D
asosiy funksiyalar fazosida

aniqlangan regulyar umumlashgan funksiyani aniqlaydi:

 f xgy,   _ f xgyx, ydx dy  _ f x_ gyx, ydxdy 
 f x,gy,x, y  _ gy_ f xx, ydxdy  gy, f xx, y.
Ushbu tenglikni f x D'Rⁿ  va gy D'Rⁿ  umumlashgan funksiyalarni
to’g’ri ko’paytmasi sifatida qabul qilamiz.

To’g’ri ko’paytmani
DR^nm 
da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksionalligini

ko’rsatamiz. Shu maqsadda quyidagi lemmani isbotsiz keltiramiz.
Lemma 4.1. Ixtiyoriy g  D'R^m  va   DR^nm  funksiyalar uchun

    gy,x, y funksiya
DRⁿ  fazoga tegishli bo’lib, barcha  larda

^ x  gy,, y

o’rinli bo’ladi. Agar
DR^nm  da
k  
da _k  0
bo’lsa, г holda
DRⁿ  da

_k x  gy,_k x, y 0, k   , bo’ladi.

Ushbu lemmaga asosan barcha ekanligidan
  DR^nm 
uchun  x  gy,x, y DRⁿ 

 f x gy,   f x, gy,x, y
tenglikning o’ng tomoni barcha f va g umumlashgan funksiyalar uchun ma’noga

ega bo’ladi va

DR^nm  fazodagi funksionalni aniqlaydi.

f va g funksionallarning chiziqliligidan uning chiziqliligi kelib chiqadi. Uni

DR^nm  da uzluksizligini isobotlaymiz. DR^nm  da
k   da _k  0 bo’lsin. Г

holda lemmaga ko’ra DRⁿ  da gy,_k x, y 0, k  , va f funksionalni

DRⁿ  da uzluksizligidan  f x,gy,_k x, y 0, k  
kelib chiqadi.

Demak,
f x gy D'R^nm  ya’ni umumlashgan funksiya bo’ladi.

2. 
   To’g’ri ko’paytmaning xossalari.
   

1⁰. Kommutativligi.
f  D'Rⁿ , g  D'R^m 
umumlashgan funksiyalar uchun

f x gy kabi gy f x to’g’ri ko’paytma aniqlanadi:

tenglik o’rinli.
gy f x,  gy, f x, x, y,   DR^nm .
f x gy  gy f x

Haqaqatan ham,   DR^nm :

N
x, y  _
l1
U_l xV_l y,
U  DRⁿ ,
V  DR^m 

l

l
asosiy funksiya
DR^nm  fazoda zichligidan
 f x gx,   ^ f , N U g,V ^ 

^{ } l l ^
 l 1 

N
  f ,U
g,V   ^ g, V  f ,U ^  gy f x, .

N
^ l
l1
l ^{ } l l ^
 l1 

2⁰.
f x gx
to’g’ri ko’paytma f va g larga nisbatan chiziqli va uzluksiz, ya’ni

masalan:

f x 

f₁ x gy   f x gy  f₁ x gy,

1
f , f  D'Rⁿ , g  D'R^m ;
D'Rⁿ  da
k  
f_k  0
bo’lsa, u holda
D'R^nm  da

Haqiqatan ham,
k   da
  DR^nm 
f_k x gx 0 .
bo’lsin. Yuqoridagi lemmaga asosan

 x  gy,x, y D^R^{n } bo’lib,
 f_k x: gy,   f_k x,gy,x, y   f_k ,   0,
k  .

3⁰. Assosativligi. Agar
f  D'Rⁿ , g  D'Rⁿ 
va h  D'R^k  bo’lsa, u holda

f x gy hz   f x gy hz.
Haqiqatan ham, agar   DR^nmk  bo’lsa,
 f x gy hz   f x,gy hz, 

4⁰. Hosilasi.
  f x gy,
hz,   f x gy hz,

^  f x gy  ^ f x gy
x x
Haqiqatan ham,   DR^nm  bo’lsa,


^  f x gy, 1^|| f x gy, ^x, y 1^|| gy, f x, ^x, y 
x x x

 gy,^ f x,  ^ f x gy,

x x

3. Umumlashgan funksiyalarning o’ramasi va uning xossalari.

f x va
gx funksiyalar
Rⁿ da lokal integrallanuvchi bo’lsin, u holda

funksiya ham
hx  _| g( y) f (x  y) |dy
Rⁿ da lokal integrallanuvchi bo’ladi.

f * g o’rama deb
 f * g x  _ f ygx  ydy _ gy f x  ydy g * f x

funksiyaga aytiladi. Ta’kidlash lozimki,
f * g
va | f


|*| g | h
o’ramalar bir vaqtda mavjud bo’lib,

 f * g   h
bo’ladi, ya’ni
f * g
Rⁿ da lokal integrallanuvchi bo’lib, regulyar

umumlashgan funksiyani aniqlaydi:

  DRⁿ  uchun

 f * g,  _  f
* g  d  _ _ gy f   ydy d 

 _ gy_ f   y d dy  _ gy_ f yx  ydxdy.

Xossalari
1⁰. Chiziqliligi.
 f * g,   _ f xgyx  ydx dy,
  DRⁿ .

f * g
o’rama f va g larga nisbatan
D' da chiziqli, masalan

f
 f₁ * g   f * g,
f , f₁, g  D';

agar
f * g va
f₁ * g
o’ramalar mavjud bo’lsa.
 f ,*g

2⁰. Kommutativligi.

Agar
f * g
o’rama mavjud bo’lsa,
g * f
o’rama ham mavjud bo’lib,

bo’ladi.
3⁰. O’ramaning hosilasi.
f * g  g * f

Agar bo’lib,
f * g
o’rama mavjud bo’lsa,
^ f * g va
f * ^ g
o’ramalar ham mavjud

bo’ladi.
^ f
* g  ^  f
* g 
f * ^ g

2.Musbat umumlashgan funksiyalar va o’lchovlar.

Ta’rif 5.1. Ixtiyoriy
x DG, x 0, G  Rⁿ , uchun  f ,  0

munosabat o’rinli bo’lsa,
f  D'G musbat umumlashgan funksiya deyiladi.

Musbat umumlashgan funksiyalar bilan o’lchovlar orasidagi bog’lanishni o’rganish uchun o’lchov ta’rifini keltirib o’tamiz.

Ta’rif 5.2.

G  Rⁿ
sohaning barcha qism to’plamlarida aniqlangan sanoqli

additiv, nomanfiy to’plam funksiyasi G sohada aniqlangan o’lchov deyiladi.

Ma’lumki G da lokal integrallanuvchi umumlashgan funksiyani aniqlaydi.
f x
funksiya regulyar

 f ,   _ f xxdx,
G
G sohada aniqlangan  o’lchov quyidagi
,   _xdx,
G
  DG

  DG

funksionalni aniqlaydi. Ushbu tenglik bilan aniqlangan , 
DG
da chiziqli

uzluksiz funksional bo’ladi. Dirakning  
funksiyasi bunga misol bo’ladi.

  0
asosiy funksiya uchun ,  0
bo’ladi, ya’ni  o’lchov orqali

aniqlangan funksional musbat umumlashgan funksiya bo’ladi. Teskarisi ham

o’rinli, ya’ni har qanday
f  D'G
musbat umumlashgan funksiyaga G sohada

aniqlangan yagona
₁ o’lchov mos keladi, ya’ni

 f ,   _xd₁,
G
  DG

Ushbu paragraf so’ngida subgarmonik funksiyalar haqida to’xtalib o’tamiz.

G  Rⁿ
sohada
ux funksiya berilgan bo’lib, yuqoridan yarim uzluksiz ya’ni

1)    ux 

2) x G
uchun
lim ux  ux₀  bo’lsin.
xx₀

^{Ta’rif 5.3.} G  Rⁿ
sohada aniqlangan
ux funksiya G da subgarmonik

deyiladi agar u G sohada yuqoridan yarim uzluksiz bo’lib,
x₀ G
nuqta uchun

shunday yetarlicha kichik
r  0
son mavjud bo’lib,

ux₀  
w
1
_r n1
_ uxd _x
 

0 0
n S x₀ ,r

tengsizlik o’rinli bo’lsa, bunda
Sx , r  x  Rⁿ : x  x
 r
w_n 
birlik sfera

sirt yuzasi,
d _x 
Sx₀ , r sferaning yuza elementi.

G sohada subgarmonik funksiyalar sinfida
ShG orqali belgilaymiz.

Ixtiyoriy aniqlanadi:
uxC ² G funksiya uchun Laplas operatori quyidagicha

u
u  _
 ²u

i
i1 ^{x 2}
C ² G sinfga tegishli subgarmonik funksiyalar uchun quyidagi teorema o’rinli bo’ladi.

u  0 bo’ladi, ya’ni

Teorema ([3]).

uxC ² G funksiya G sohada subgarmonik bo’lishi

uchun
u  0 bo’lishi zarur va yetarli.
Ixtiyoriy subgarmonik funksiya umuman aytganda ikki marta uzluksiz

differensiallanuvchi bo’lmaydi, lekin u
ni umumlashgan ma’noda qarash

mumkin, ya’ni
  DRⁿ  uchun umulashgan funksiya xosilasi ta’rifiga ko’ra
u,   u, 

Ma’lumki (qarang[3]) u
musbat umumlashgan funksiya bo’ladi. Yuqorida

ta’kidlanganidek, har bir musbat umumlashgan funksiya shu sohada aniqlangan o’lchov mos keladi, ya’ni

Demak,
u  _u
bo’ladi.
u,   _d_u
G

Fоydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Част I ,II. Москва,
   

«Наука», 1969.

2. 
   Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва,
   

«Наука» 1988.

3. 
   Ронкин Л. И. Введение в теорию целых функций многих переменных. Москва, «Наука», 1971.
   
4. 
   Маркушевич А.И. Теория аналитических функций . II том, М.
   

«Наука», 1968.

5. 
   Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. Москва, «Наука»,1969.
   
6. 
   Садуллаев. А. С. Кўп аргументли голоморф функциялар. Урганч , 2004.