Xətti cəbri tənliklər

Xətti cəbri tənliklər sistemi

§1.1. Xətti cəbri tənliklər sisteminin

Kramer üsulu ilə həlli.

Tənlikləri xətti tənliklər olan sistemə xətti tənliklər sistemi deyilir.

1. 
   Tutaq ki, ikiməchullu iki xətti tənlik sistemi
   

verilmişdir.

a₁₁x  a₁₂ y  b₁ a₂₁x  a₂₂ y  b₂
Tənliklərin sağ tərəfi olan b₁
və b₂
(1)

ədədlərinin ikisi

də sıfra bərabər, yəni
b₁  b₂  0
olarsa, onda həmin

sistemə bircinsli xətti tənliklər sistemi deyilir. b₁ və b₂
ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda (1) sisteminə bircinsli olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir.Sistemə daxil olan tənliklərin hər birini ödəyən

x  x₀ , y  y₀
deyilir.
qiymətlər çoxluğuna həmin sistemin həlli

Verilmiş sistemin həlli ola da bilər, olmaya da bilər; sistemin həlli varsa, ona uyuşan və ya birgə sistem, əks halda isə uyuşmayan və ya birgə olmayan sistem deyilir. Tənliklər sistemi uyuşan olduqda onun bir və ya birdən çox həlli ola bilər.
Sistemin əmsallarından və sərbəst hədlərindən
düzəldilmiş iki tərtibli determinantları

_∆= ^a11
^a12
b₁

b a
, ∆ =
^a12
_{, ∆ =} ^a11 ^b1

^a21
^a22
x

2
22
^a21 ^b2

ilə işarə etsək, ∆  0
olarsa, (1) sisteminin yeganə həlli olur.

x= ^1 , y= ^{ 2} (2)
 

2. 
   düsturuna Kramer düsturları deyilir.
   

Üçməchullu üç xətti tənlik sistemi
a₁₁x  a₁₂ y  a₁₃z  b₁ a₂₁x  a₂₂ y  a₂₃z  b₂ a₃₁x  a₃₂ y  a₃₃z  b₃

(3)

şəklində yazıla bilər.
b₁  b₂  b₃  0
olduqda (3)

sistemindən bircinsli xətti tənliklər sistemi alınır. b₁ ,b₂ ,b₃ ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda (3) sisteminə bircins olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir.

2. 
   sisteminin hər bir tənliyini doğru ədədi
   

bərabərliyə (eyniliyə) çevirən
x  x₀ , y  y₀ , z  z₀

qiymətlər çoxluğu həmin sistemin həlli adlanır. Sistemin həlli varsa, ona uyuşan, heç bir həlli olmadıqda isə ona uyuşmayan (uyuşan olmayan) sistem deyilir.

3. 
   sisteminin sağ tərəfindəki ədədlər 
   

determinantının birinci sütun elementlərini uyğun olaraq

b₁ ,b₂ ,b₃ b₁ ,b₂ ,b₃
ədədləri ilə, sonra isə ikinci süun elementlərini ədədləri ilə və nəhayət üçüncü sütun

elementlərini yenə də həmin ədədlərlə əvəz etməklə alındığından:

^a11 ^a12 ^a13
^b1 ^a12
^a13

^{∆= a}21 ^a22 ^a23 ^{, ∆x= b}2
^a22
^a23 ^,

^a31 ^a32 ^a33
^b3 ^a32
^a33

^∆y^=
a11 ^b1 ^a13
^a21 ^b2 ^a23 ^{, ∆z=
a}31 ^b3 ^a33
^a11 ^a12 ^b1 ^a21 ^a22 ^b2 ^,
a31 ^a32 ^b3

kimi yazılar. ∆  0
olduqda bu sistemin yeganə həlli var.

x= ^1 , y= ^{ 2} , z= ^3 (4)
  

3. 
   düsturlarına Kramer düsturları deyilir.
   

Beləliklə, aşağıdakı nəticəni almış olarıq: bircinsli sistemin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün həmin sistemin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün həmin sistemin  determinantının sıfra bərabər olması zəruri və kafi şərtdir.
Misal. Sistemi həll edin:
^{3x  y  z  7}


^x  5 y  6z  4


^2x  3y  4z  8
Həlli: Əvvəlcə sistemin baş determinantını
hesablayaq:

3
  1
2
1 1
 5 6
3  4

 3   5  4 1 3  1 1 6  2 

 1  5 2 11  4 6  3  3  60  3  12 10  4  54 
 9  0
alarıq. İndi də köməkçi determinantları tapaq:

7 1
x   4  5
8 3
3 7
y  1  4
2 8
3 1
1
6  18
 4
1
6  0
 4
7

z  1
2
 5  4  9
3 8

Kramer qaydasından istifadə etsək, sistemin həllini
alarıq:

x  ^{ x}

 ¹⁸  2;
9
y  ^{ y}

 ⁰  0,
9
z  ^{ z}

 ^{ 9}  1 9

Misal. Sistemi həll edin:
^{2x1  x2  x3  3x4  1
}x  x  x  4x  6
^ 1 2 3 4

_3x₁  x₂  x₃  x₄  4
^_x₁  3x₂  3x₄  5

Həlli.

2 1 1 3
1 1 3
2 1 3

_{ } 1 1 1  4 _{ 1 1}
1  4  31 1  4 

3 1 1 1
1  3 0 3
2 1 1
1 1 1 3 1 1

 31
3
1 1  1 0  3 5  3 0  15
1 1

1 1 1 3


1 1 3


2 1 3

6
₁  ₄
1 1
1 1
^{ 4}  5 1
1
1  4  36
1  4 

 5  3 0 3
1 1 1
1 1 1
4 1 1

 3 6
4
1 1  5 0  3 5  3 0  15;
1 1

2 1 1 3


1 1 3


2 1 3

_{ } 1 6
² 3 4
1  4 _{  6}
1 1
1  4  51
1  4 

1  5 0 3
2 1 1
4 1 1
3 1 1

 31 6
3 4
1  1 5  5 5  310  0; 1

₃ 

 1

2	 1	 1	3
1	1	6	 4
3	 1	4	1
1	 3	 5	3

  1
 1
 1 3
6  4 
4 1

2 1 3
2 1 3
2 1 1

 31
6  4  51 1
 4  31 1 6 

3 4 1
3 1 1
3 1 4

 15  315  5 5 310  45

2 1 1
_{ } 1 1 1
⁴ 3 1 1
1  3 0
2 1 1
1 _1 ⁶  1 1
⁴ 1
 5
1 1
1 6
1 4

2
 31

3
1 1
1 6 
1 4

 51
3
1 1  1 0  310 5 0  30
1 1

x  ^1  ^15  1; x  ^2  ⁰

 0;

¹  15 ²  15

x  ^3  ^{ 45}  3; x  ^4  ³⁰
 2.

³  15 ⁴  15

§1.2. Xətti tənliklər sisteminin matris

üsulu ilə həlli.

Tutaq ki, A və B verilmiş matrislərdir və matrizlərlə yazılmış

AX  B
tənliyindən X matrisini tapmaq tələb olunur.
(1)

1. 
   tənliyinə matris tənlik deyilir. A matrisinin
   

determinantı
A  0
olarsa, onda onun
_A1
tərs matrisi

var. Bu halda (1) tənliyinin hər iki tərəfini soldan matrisinə vursaq, X matrisini taparıq:
_A1

A^1 AX
 A^1B,
EX  A^1B,
X  A^1B

Xətti tənliklər sistemini də (1) matris tənliyi şəklində yazıb həll etmək olar. Tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ....  a_1n x_n  b₁ a₂₁x₁  a₂₂ x₂  ....  a_2n x_n  b₂
....................................................
a_n1x₁  a_n2 x₂  ...  a_nnx_n  b_n
(1)
Bu sistemi matris şəklində yazaq;

^a11 ^a12 ^a1n
_A= ^a21 ^a22 ^a2n
...................
^an1 ^an 2 ^ann
işarə etsək.
; X=
x₁ x₂
....
x_n
; B=
b₁ b₂
....
b_n

2. 
   

^a11 ^a21
a₁₂...a_1n
a₂₂...a_2n
x_1
 x₂
b_1
 b₂

.......................
....
....

^an1
a_{n 2} ...a_nn x_n b_n

matris tənliyini alarıq. Onda bu sistem AX = B olar.
∆≠0 olduqda matris tənliyin hər iki tərəfini A^-1 vuraraq X = A^-1B alarıq. Bu xətti tənliklər sisteminin tərs matrisin köməyi ilə həllidir. A^-1 matrisi A matrisinin tərs matrisi, ∆-isə A matrisinin determinantıdır.
^x1 ^{= 1 (A}11^b1 ^{+ A}21^b2 ^{+. + A}n1^bn ⁾
∆

^x2 ^{= 1}
∆
^(A12^b1 ^{+ A}22^b2 ^{+. + A}n2^bn⁾

..................................................

^xn ⁼¹
∆
^(A1n^b1 ^{+ A}2n^b2 ^{+. + A}nn^bn⁾

^{Burada A}ij ^aij ^{elementinin cəbri tamamlayıcısıdır.}
Misal. Tənliklər sistemini həll edin:
^{8x1  x2  x3  26}



x₁  5x₂  x₃  7


x₁  x₂  5x₃  7 ^

Həlli.
8
  1
1
1 1
5 1  8 5  5 1111111 51
1 5

11 5  118  200 11 5  5  8  180

 ^b1   ²⁶
   
^b2 ^{   7 }
 _b   ₇ 

5 1
 ³   
1 1 1 5

A₁₁  _1
 24;
5
A₁₂  ₁
 6;
5
A₁₃  _1
1  6;

^A21
  ¹
1
¹  6;
5
8
A₂₂  ₁
¹  39;
5
^A23
 ¹
1
⁸  9;
1

1
A₃₁  ₅
¹  6;
1


^A32
  ⁸
1
¹  9;
1
8
A₃₃  ₁
¹  39
5

x₁  x₂  x₃ 
1

180
1

180
1

180
24  26   6 7   6 7  3

 6 26  39  7  9  7  1
 6 26  9  7  39  7  1

§ 1.3. Xətti cəbri tənliklər sisteminin

Qauss üsulu ilə həlli.
Tutaq ki, xətti tənliklər sistemi verilmişdir:


Bu sistemin determinantı sıfırdan fərqli olduqda onu Kramer qaydası ilə həlletmək olar. Lakin bu halda n+1 sayda n tərtibli determinant hesablamaq lazım gəlir ki, bu da böyük hesablama işi tələb edir.
Verilmiş xətti tənliklər sistemində məchulların sayı
tənliklərin sayına bərabər olmadıqda yəni sistem

şəklində olduqda isə onun həllinə Kramer qaydasını bilavasitə tətbiq etmək olmur. Buna görədə (1) və (2) şəklində xətti tənliklər sistemini çox zaman məchulların ardıcıl yox edilməsi üsulu və ya Qauss üsulu ilə həll

edirlər. Tutaq ki,
a₁₁  0 . Onda sistemin birinci tənliyinin

hər iki tərəfini
^a21
^a11

ədədinə vursaq , alınan

tənliyini sistemin 2-ci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxırıq. ^{Aldığımız tənlikdə x}1 ^{məchulu iştirak etmir.}
. a₂^2x₂  a₂^3x₃  ....  a₂^mx_m  b₂^

Sonra sistemin 1-ci tənliyinin hər iki tərəfini
^a31
^a11
ədədinə

vuraraq alınan tənliyi sistemin ücüncü tənliyindən tərəf- tərəfə çıxırıq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (2) sistemini

3. 
   

şəklində sistemə gətirmək olar. Aldığımız yeni sistemdə
ikincidən sonrakı tənliklərindən də yuxarıdakı qayda ilə,
x₂ məchulu yox edilir. Prosesi bu qayda ilə davam
etməklə (2) sistemini ona ekvivalent olan

tənliklər sisteminə gətirmək olar. (4) sisteminə pilləvari (və ya pillələr şəklində) sistem deyilir. Sonuncu tənlikdən
x_n məchulu tapılır, sonra yuxarı qalxaraq x_n1 və bu qayda

ilə davam edərək birinci tənlikdən
x₁ məchulunu tapırıq.

Aydındır ki, sistemə Qauss üsulunun tətbiq oluna bilməsi üçün sistemin baş elementlərinin sıfırdan fərqli olması zəruri və kafi şərtdir.

Qeyd edək ki, (2) sisteminin çevrilməsi nəticəsində alınan (4) sistemi uyuşan və ya uyuşmayan ola bilər. Birinci halda (4) sistemini həll edərək(2) sisteminin axtarılan həlləri tapılır. (4) sistemi uyuşmayan olduqda ( məsələn, sistemdə sol tərəfdəki bütün əmsalları sıfır olan, lakin sağ tərəfi sıfır olmayan tənlik alındıqda) (2) sistemi də uyuşmayan olar.
Qeyd edək ki, (4) sistemi uyuşan olduqda iki haldan ançaq biri mümkündür: həmin sistemin ya yeganə həlli var, ya da sonsuz sayda həlli var. Hesablama zamanı heç bir yuvarlaqlaşdırma aparılmayıbsa, onda Qauss üsulu ilə tapılmış həll dəqiq olur.
Teorem (Kroneker–Kapelli). Verilmiş (1) xətti tənliklər sisteminin birgə (uyuşan) olması üçün zəruri və kafi şərt sistemin əsas matrisinin ranqının onun genişlənmiş matrisinin ranqına bərabər olmasıdır, yəni, рА  рА * olmasıdır.

Birinci tənliyi aparıcı tənlik kimi qəbul edək. Digər dəyişənləri toplama üsulu ilə “yox” edək.

Indi isə ikinci tənliyi aparıcı tənlik kimi qəbul edək və toplama üsulu ilə digər dəyişənləri ardıcıl yox edək.

1