Xətti tənliklər sistemi üçün Qauss üsulu. Xətti tənliklər sistemi üçün Kronekker-Kappeli teoremi

Xətti tənliklər sistemi üçün Qauss üsulu. Xətti tənliklər sistemi üçün Kronekker-Kappeli teoremi.
Tutaq ki, məchullu xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
(1)
Bu sistemi qısa olaraq aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:
( ).
Verilən sistem olduqda bircins, ədədlərin-
dən­ heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda isə bircins olmayan xətti tənliklər sistemi adlanir.
Məchullarin (1) sisteminin hər bir tənliyini ödəyən qiy­mətlər çoxluğuna onun həlli deyilir.Həlli olan sistem uyuşan (və ya birgə), həlli olmayan sistem isə uyuşmayan (və ya birgə olmayan) sistem adlanır. Uyuşan sistem, yeganə həlli olduqda müəyyən, iki və ya daha çox həlli olduqda isə qeyri-müəyyən sistem adlanır.
(1) sistemini matris tənlik adlanan şəklində yaza bilərik, burada
; ;
işarələmələri aparılmışdır. -dəyişənlərin əmsallarından düzəldilmiş matris (və ya sistemin əsas matrisi), -dəyişənlərin sütun- matrisi, isə sərbəst hədlərin sütun matrisidir.
Bu tən­likdən matrisini tapmaq tələb olunur. matrisinin determinantı olarsa, onda tərs matrisi var, bu halda verilmiş tənliyin hər iki tərəfini soldan matrisinə vursaq, matrisini taparıq:

Eyni qayda ilə və tənliklərinin də həllini, uyğun olaraq, aşağıdakı kimi tapmaq olar:




Kramer qaydası. Tutaq ki, (1) tənliklər sistemində tənliklərin və dəyişən­lərin sayı bərabərdir: . Onda sistemin matrisi kvadrat olur və onun determinantı siste­min determinantı adlanır.
İndi isə ikiməchullu iki xətti tənlikdən ibarət sistemi həll edək:
, (2)
burada dəyişənlərin əmsallarından heç olmasa biri sıfırdan fərqlidir. Bu sistemi həll etmək üçün birinci tənliyi -yə, ikincini isə -yə vurub onları toplayıb dəyişənini yox edək. Sonra birinci tənliyi -ə, ikincini isə -ə vurub toplasaq, dəyişənini yox edək. Nəticədə belə bir sistem alarıq:
. (3)
Mötərizədəki ifadələr sistemin determinantıdır:
.
Belə bir işarələmə aparaq:
, .
Beləliklə, (3) sistemi aşağıdakı şəklə düşər:
. (4)
Alınan bu sistemdən görünür ki, əgər sistemin determinantı -dırsa, onda (2) sistemin yeganə həlli var və bu həll

,
düsturları ilə tapılır. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.
Əgər və (və ya ) olarsa, onda alınır və (2) sistemi uyuşmayan­ olur.
Əgər olarsa,onda alınır və (2) sistemi qeyri-müəyyən olur və sonsuz sayda həllə malik olur .
İndi isə tutaq ki, məchullu xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
(5)
Məchulların əmsallarından düzəldilmiş

determinantına (5) sisteminin əsas determinantı deyilir.
Kramer teoremi. Tutaq ki, (5) sisteminin əsas determinantı, isə əsas determinantının i-ci sütununun sərbəst hədlərdən ibarət sütunla əvəz edil­məsin­dən alınmış determinantlar (köməkçi determinantlar) işarə edilmişdir. Əgər -dirsə, onda (5) sisteminin yeganə həlli var və o

düsturları ilə tapılır. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.
Qauss üsulu. Çox saman (1) və eləcə də (5) sistemini məchulları ardıcıl yox­etmə (və ya Qauss) üsulu ilə həll edirlər: olmaqla ( olduqda isə sistemdəki tənliklərin yerləri elə dəyişdirilir ki, birinci yerdə duran tənkikdə məchulunun əmsalı sıfırdan fərqli olur) (1) sisteminin birinci tənliyinin hər iki tərəfini əvvəlcə ədədinə vurub onun ikinci tənliyindən, sonra ədədinə vurub üçüncü tənliyindən və s. ədədinə vurub -ci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxmaqla (1) sisteminin birincidən sonrakı bütün tənliklərindən məchulu yox edilir. Alınmış yeni sistemin ikincidən sonrakı tənliklərindən də, yuxarıdakı qayda ilə məchulu yox edilir. Prosesi bu qayda ilə davam etdirməklə (1) sistemi ona ekvivalent olan pilləvari sistemə gətirilir. Buradan isə məchulları tapmaq çox da çətin deyil.
Ola bilər ki, müəyyən addımlardan sonra sistemin heç olmasa bir tənliyi

şəklində olsun, onda (1) sistemi uyuşan deyil. Əgər

şəklində tənlik alınarsa, onda həmin tənlik atılır.

(1) sistemindəki dəyişənlərin əmsalları ilə sərbəst hədlərdən düzəldilmiş və