=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

1.4. To`plamlarning dekart ko`paytmasi
Aytaylik A va B bo`sh bo`lmagan to`plamlar berilgan bo`lsin. Birinchi element A to`plamga va ikkinchi element B to`plamga qarashli bo`lgan barcha (a,b) juftlardan iborat to`plam A va B to`plamlarning Dekart (to`g`ri) ko`paytmasi deyiladi va A×B kabi belgilanadi.
Shunday qilib A×B={(a, b) : a A, b B} to`plam A va B to`plamlarni Dekart (to`g`ri) ko`paytmasi deyiladi. Agar A=B bo`lsa, A×A to`pam (a, b), a A va b A juftlikardan iborat bo`ladi. A×Ø= Ø ×A= Ø bo`ladi. To`plamlarni Dekart ko`paytmasi uchun A×B=B×A, b) A×(B×C)≠(A×B)×C .
Agar A bo`sh bo`lmagan to`plam berilgan bo`lsa, uning elementlaridan tartiblashgan juftlik, uchlik va hokazo n – liklar tuzish mumkin. “Anor” so`zining harflari tartiblashgan to`rtlikni hosil qiladi.
Aytaylik A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, . . . , A<sub>n</sub> to`plamlar berilgan bo`lib, a<sub>1</sub> A<sub>1</sub>, a<sub>2</sub> A<sub>2</sub>,. . . ,a<sub>n</sub> A<sub>n</sub> bo`lsin, (a₁, a₂, . . . , a_n) – tartiblashgan n – likni hosil qiladi. Ko`p hollarda “tartiblashgan n - lik” o`rniga qisqacha “kortej” deyiladi, n – kortej uzunligi, a₁, a₂, . . . , a_n lar esa uning komponenta (koordinata)lari deyiladi.
1 – misol. A={1, 2, 3}, B={a, b} berilgan bo`lsa, A×B, B×A, A×A, B×B larni toping:
A×B= {(1;a), (2;a), (3;a), (1; b), (2; b), (3; b)};
B×A= {(a; 1), (b; 1), (a; 2), (b; 2); (a; 3), (b; 3)};
A×A= {(1; 1), (1; 2), (1; 3); (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)};
B×B= {(a; a), (a; b); (b; a), (b; b)}
2 – misol. A=[1;3], B=[2;4] lar berilgan bo`lsa, A×B, B×A larni toping:
A×B=[1;3] ×[2;4]={(a; b) : 1 a 3, 2 b 4}
B×A=[2;4] ×[1;3]={(a; b) : 2 a 4, 1 b 3}
Yechish:A×B to`plam elementlarini birinchi koordinatalarini (A ning elementlarini) Ox o`qida, ikkinchi koordinatalarini (B ning elementlarini) Oy o`qida tasvirlaymiz. Bu nuqtalardan, mos ravishda, Ox, Oy o`qlarga perpendikulyar chiqaramiz. Bu perpendikulyarning kesishish nuqtalarini koordinatalari A×B to`plamlar elementlardan iborat. Koordinatalari A×B ning elementlari (sonlar jufti) ga teng bo`lgan barcha nuqtalar to`plami. A×B to`plamning geometrik tasviri deyiladi. 1 – misolda keltirilgan A×B, B×A, A×A to`plamlarning geometrik tasviri 1.4 – chizmada, 2 – misolda keltirilgan A×B, B×A to`plamlarning geometrik tasviri 1.5 – chizmada tasvirlangan.

A×B B×A A×A

1.4 – chizma.

1.5 – chizma.

3 – misol. Ixtiyoriy A, B, va C to`plamlar uchun ushbu
A×(B C)=(A×B) (A×C) munosabatning to`g`ri ekanligini isbotlang.
Yechish: a) ixtiyoriy (x,y) A×(B C) bo`lsin, bundan x A, y B C bo`lganligi uchun birlashmani ta’rifidan x A, y B yoki y C. Shunday qilib, x A va y B yoki x A va y C bulardan to`g`ri ko`paytmaning ta’rifidan (x;y) A×B yoki (x;y) A ×C Demak (x;y) (A×B) (A×C) ya’ni, A×(B C) (A×B) (A×C) (2)
b) ixtiyoriy (x;y) (A×B) (A×C) bo`lsin. Bundan (x;y) (A×B) yoki (x;y) (A×C). To`g`ri ko`paytmaning ta’rifidan x A va y B bulardan x A va y B C. Demak, (x;y) A×(B C) yoki
(A×B) (A×C) A×(B C) (3)
(2) va (3) munosabatlardan (1) tenglikni o`rinli ekanligi kelib chiqadi.