=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Savollar
1. Yarim gruppa va monoid aksiomalarni ko’rsating.
2. Gruppa aksiomalarini yozing.
3. Qanday gruppani Abel gruppasi deyiladi?
4. Chekli va cheksiz gruppalarga ta'rif bering.
5. Qanday gruppani qism gruppa deyiladi?


3.3. Halqa va maydonlar
Aytaylik E bo’sh bo’lmagan to’plam. +, o undagi qo’shish va ko’paytirish amallari bo’lsin.
1-tarif. Agar E to’plamda aniqlangan qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa E ni halqa deyiladi,
Ya'ni: 1. (a,b,cE) a+(b + c)=(a + b) + c, 2) (a,bE) a+b=b+a
3. (0E) (aE) a + 0=a, 4) (aE)(-a)E a+(-a)=0
5) (a,b,cE) a^.(b^.c)=(a^.b)c, 6) (a,b,cE) a(b+c)=ab+ac,
Agar E halqada 7. (a,b,cE) a^.b=b^.a aksioma o’ringa ega bo’lsa E kommutativ halqa deyiladi.
Agar E kommutativ halqada 8. 1E,1≠0 (aE)a^.1= a bo’lsa E birlik elementga ega bo’lgan holda yoki qism deyiladi. Agar E kommutativ halqada
8. 1E,1≠0 (aE)a^.1=a
9. aEa≠0a^-1E a^.a^-1=1
aksiomalar o’rniga ega bo’lsa, E ni maydon deyiladi.
1-4 aksiomalardan E kommutativ additiv gruppa ekanligi kelib chiqadi, uni E halqaning additiv gruppasi deyiladi.
2-ta`rif. Agar (a,bE) a≠0, b≠0=>a<sup>.</sup>b=0 bo’lsa, u holda E halqaning a va b elementlarini nolning bo’luvchilari deyiladi.
3-ta`rif. Nolning bo’luvchisiga ega bo’lmagan halqani butunlik sohasi deyiladi.
Misollar. Z - butun sonlar to’plami odatdagidek qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan kommutativ, birlik elementga ega bo’lgan halqa bo’ladi:
2. K =Z[ ]={a +b :a,bZ] halqa bo’ladi.
4-ta`rif. E halqa va EK≠ uning qism to’plami bo’lib, K ham E dagi amallarga nisbatan halqa bo’lsa K halqa E halqaning qism halqasi bo’ladi.
5-ta`rif. P maydon va PH≠ uning qism to’plami bo’lib, P maydonda aniqlangan amallarga nisbatan N maydon bo’lsa, N maydon E maydonning qism maydoni deyiladi.
6-ta`rif. Aytaylik P maydon E butunlik sohasi bo’lsin. Agar
1. E P ni qism halqasi bo’lsa.
2. (xP) (a,bE)x=a^.b^-1 shartlar o’rinli bo’lsa, u holda P ni E butunlik sohasini nisbatlari maydoni deyiladi.
Masalan, Q - ratsional sonlar maydoni Z butun sonlar halqasining nisbatlari maydoni bo’ladi.
Agar E halqa bo’lsa, a,bE uchun quyidagi tengliklar o’ringa ega bo’ladi:
1. a+b=a=>b=0 2. a+b=0 b=-a;
3. (-a)=a; 4. a^.0=0^.a=0;
5. a(-b)=(-a)b=-(ab) 6. (-a)(-b)=ab
Agar P maydon bo’lsa, quyidagi munosabatlar o’ringa ega bo’ladi:
1-teorema. Aytaylik E halqa K esa uni bo’sh bo’lmagan qism to’plami bo’lsin. K E halqaning qism halqasi bo’lishi uchun a) a,bK a+b, a^.bE b) aK=>(-a)K shartlarni o’ringa ega bo’lishi zarur va yetarlidir.
Savollar
1. Halqa va maydon aksiomalarini yozing?
2. Qanday halqani kommutativ halqa deyiladi?
3. Qanday elementlarni nolning bo’luvchilari deyiladi?
4. Butunlik sohasiga ta'rif bering.
5. Qanday maydonni nisbatlari maydoni deyiladi?