=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Savollar
1. Qanday algebraik amali kommutativ amal deyiladi?
2. Qanday amalga assotsiativ amal deyiladi?
3. Qanday element neytral element deyiladi?
4. Simmetrik elementga ta'rif bering?
5. Qanday to’plamni biror amalga nisbatan yopiq deyiladi?

3.2. Yarim gruppa, monoid va gruppalar
1. Aytaylik A≠ to’plam, * - A to’plamda aniqlangan binar amal bo’lsin.
1-ta'rif. Agar A to’plamda aniqlangan * binar amal assotsiativ bo’lsa, ya'ni (a,bA), (a*b)*c=a*(b*c) bo’lsa, u holda A yarim gruppa deyiladi. Agar * amal + (qo’shish) amali bo’lsa, additiv yarim gruppa (ko’paytirish) bo’lsa, A - multiplikativ yarim gruppa deyiladi.
Agar * amal kommutativ bo’lsa, ya'ni (a,bA), a*b=b*a bo’lsa, A ni kommutativ, agar A chekli bo’lsa, A ni chekli yarim gruppa deyiladi.
(a,x,yA), (a*x=a*y=>x=y) va (x*a=y*a=>x=y) bo’lsa, u holda A ni qisqartirishga ega bo’lish yarimgruppa deyiladi.
Misollar. 1. M≠, A={:: MM} - akslantirishlarning ko’paytirish (kompozitsiyasi) amalidan iborat bo’lsin. U holda A yarim gruppa bo’ladi. Chunki akslantirishlarni ko’paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega.
1. A={e,a} ikki elementli to’plam bo’lib, unda aniqlangan * amal Keli jadvali bilan berilgan bo’lsin, u holda A yarim gruppa bo’ladi. Lekin u qisqartirishga ega bo’lmaydi, chunki (a*e=a*a)(e*a=a*a) munosabatlardan a=e bo’lishi kelib chiqmaydi.
2.

*	e	A
e	e	A
a	a	A

2 - ta'rif. Agar A yarim gruppa bo’lib, A to’plam * amalga nisbatan e neytral element mavjud bo’lsa, u holda monoid deyiladi.
Misollar. 3. Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan yarim gruppa monoid bo’ladi.
4. N algebra multiplikativ monoid bo’lishini ko’rsatish oson. N additiv yarim gruppa monoid bo’lmaydi, chunki N to’plamda qo’shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik A yarim gruppa bo’lsin, u holda
(a₁, a₂,...,a_nA) a₁*a₂*...*a_n (1) simvolni
a₁*a₂*...*a_n=(a₁*a₂*...*a_n)
ma'nosida tushuniladi.
Agar * amal + (qo’shish) dan iborat bo’lsa, (1) ni qisqacha ko’rinishda, * amal o (ko’paytirish) dan iborat bo’lsa, ko’rinishda belgilaymiz. Demak,
=a₁+a₂+…+a_n=(a₁+a₂+… a_n-1)+a_n (2)
=a₁ a₂…a_n=(a₁ a₂ … a_n-1) a_n (3)
Xususiy holda a₁=a₂=...=a_n=a bo’lsa, u holda (2) na=(n-1)a+a, (3) esa aⁿ=a^n-1.a ko’rinishga keladi.
Algebraning xususiy ko’rinishlaridan biri gruppa tushunchasi bo’lib, u matematika va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
3-ta'rif. G to’plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1°.(a,b,cG) a*(b*c)=(a*b)*c;
2°. (eG) (aG) a*e=a;
3°. (aG) (a'G) a*a'=e
u holda G gruppa deyiladi.
Agar yuqoridagi 1° - 3° shartlarga qo’shimcha ravishda yana 4° (a,bG) a*b=b*a bo’lsa, u holda G ni kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Agar G chekli to’plam bo’lsa, G ni chekli gruppa G ning elementlari soni G gruppaning tartibi deyiladi. Agarda G cheksiz to’plam bo’lsa, G gruppaning tartibi cheksiz deyiladi.
Agar * binar amal + (qo’shish) dan iborat bo’lsa, G gruppani additiv deyiladi. Bu holda (a,bG) a*b=a+b ko’rinishda yoziladi va uni a va b elementlarni yig’indisi deyiladi. Agar * amal o (ko’paytirish) amalidan iborat bo’lsa, G ni multiplikativ gruppa deyiladi, a*b ni a^.b yoki ab ko’rinishda belgilanadi hamda a va b elementlarning ko’paytmasi deyiladi.
Misollar. 5. A={x,y}-ikki elementli to’plam, G={y₁,y₂} - A ni o’zga biektiv akslantirishlar to’plami bo’lib, ₁(x)=x, ₁(y)=y, ₂(x)=y, ₂(y)=x ko’rinishda berilgan va ° akslantirishlarning ko’paytmasi (kompozitsiyasi) dan iborat bo’lsin, u holda G algebra Abel gruppasi bo’ladi.
Haqiqatan ham, gruppaning 1° aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib ko’rish mumkin. Masalan, [(₂o₁)o₂](x)=(₂o₁)o₂(x)=(₂o₁)(y)=₂(₁(y))=₂(y)=x=>(₂o₁) o₂=₁; [₂o(₁o₂)](x}=₂o(₁(x)))= ₂(₁(y))= ₂(y)=x=>₂o(₁o₂)=₁ bulardan (₂o₁) o₂=o₂o(₁o₂) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo’lgan hollarni ham shu kabi tekshirib ko’rish mumkin. 1°. G da ₁ neytral element vazifasini bajaradi 2° ₁ va ₂ larning har biri o’z – o’ziga teskari bo’ladi.
(₂o₂)(x)=₂(₂)(x)=₂(y)=x=>₂o₂=₁o₁,
(₂o₂)(y)=₂(₂)(y)=₂(y)=y₁(y)=>₂o₂=
(₁o₁)(x)=₁(₁(x))=₁(x), (₁o₁)(y)=₁(₁(y))=₁(y)=>₁o₁=₁
Demak, ₁^-1=₁, ₂^-1=₂
4°. ₁o₂=₂o₁ ekanligini bevosita tekshirib ko’rish oson. Demak, G Abel gruppasi ekan.
Gruppaning quyidagi xossalarini mul'tiplikativ gruppa uchun keltiramiz. Bu xossalar ixtiyoriy gruppalar uchun ham o’ringa ega bo’ladi. Bu holda * amal ko’paytirish, e=1 a¹=a^-1 dan iborat bo’ladi.
1-teorema. Agar G gruppa bo’lsa, aG uchun a^-1a=1 tenglik o’ringa ega bo’ladi.
Isbot. Aytaylik xG a^-1G ga teskari element bo’lsa, ya'ni a^-1x=1. U holda a=a^.1=a(a^-1.x)=1^.x, a=1^.x, a^-1a=a^-1.(1-x)=(a^-1.1)x=a^-1.x=1, ya'ni a^-1x=1.
Teorema isbotlandi.
2-teorema. G gruppa bo’lsa, aG 1^.a=a bo’ladi.
Isbot. aG a^-1.a=1 3° aksiomadan esa aa^-1=1 kelib chiqadi. Shuning uchun
1^.a=(a^.a^-1)a=a^.(a^-1a)= a^.1=a. Demak, 1^.a=a.
3-teorema. Agar ax=1 va ay=1 bo’lsa, x=y bo’ladi.
Isbot. ay=1 u=a^-1 shuning uchun 1-teoremadan ya=1 tenglik o’rinli y=y1=y(ax)=(ya)x=1x=x. Demak, x=y.
1-natija. G gruppa bo’lsa aG (a^-1)^-1=a bo’ladi. Haqiqatan ham, a^-1a=aa^-1=a.
2-natija. G ixtiyoriy gruppada a,bG ax=b va ya=b tenglamalar yagona x=a^-1b, y=ba^-1 yechimlarga ega.
3-natija. G gruppa bo’lsa, 1(e) undagi yagona birlik (neytral) element bo’ladi.
4-natija. a,bG uchun (ab^-1)=b^-1a^-1 tenglik o’ringa ega.
Haqiqatan ham, (ab)(b^-1a^-1)=a(bb^-1)a^-1=(a1)a^-1=aa^-1 = 1.
4-ta'rif. G gruppaning H≠ qism to’plami uning qism gruppasi (gruppa ostisi) deyiladi. Agar H G da aniqlangan amalga nisbatan o’zi gruppa bo’lsa.
4-teorema. H≠ to’plami G gruppaning qism to’plami bo’lsin. H G qism gruppasi bo’lishi uchun a) a,bH=>a*bH; b) aH=>a'H shartlar o’ringa ega bo’lishi zarur va yetarlidir.