=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

Mustaqil yechish uchun misol va masalalar
1. Quyidagi to’plamlarda +, -, o, : amallarning qaysi biri algebraik amal bo’ladi. Agar algebraik amal bo’lsa, ular kommutativ, assotsiativ bo’ladimi?
a) N b) 2N={2n:nN} d) T={2n-1:nN}
e) Z f) 2Z={2n:nZ} g) Q h) R
i) R\{0} j) R⁺={x:xR, x>0} k) R\Q l) {0}
m) {1} n) {0,1} o) nZ={na:aZ }
2. Agar A₁={0,1}, A₂={0,1,2}, A₃={0,1,2,3} to’plamlarda * amal mos ravishda quyidagi Kelli jadvali yordamida berilgan bo’lsa, uni kommutativ va assotsiativ ekanligini isbotlang.

		1)				2)					3)
*	0	1		*	0	1	2		*	0	1	3
0	0	1		0	0	1	2		0	0	1	3
1	1	0		1	1	2	0		1	1	2	0
				2	2	0	1		2	2	3	1
									3	3	0	2

1. 
   R⁺={x:xR, x>0} to’plamda aniqlangan quyidagilarning qaysi biri amal bo’ladi? Agar amal bo’lsa, ular kommutativ va assotsiativ bo’ladimi?
   

a) b) a*b=a+b-1 d) a*b=a^.b²
e) a*b=a^b f) g) a*b=log_ab
h) a*b=max{a,b} i) a*b=min{a,b} j) a*b=|a-b|
k) a*b=a.
4. to’plam qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan yopiq bo’ladimi, bu to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan neytral elementlar mavjudmi?
5. Ikkitadan kam bo’lmagan elementga ega bo’lgan E to’plamda o amal aob=b tenglik bilan aniqlangan bo’lsa, E to’plamda ° amalga nisbatan neytral element mavjud emasligini isbotlang.
6. N to’plamda a°b=a^b amalga nisbatan chap va o’ng neytral elementlar mavjudmi?
7. Q to’plamda aniqlangan amal kommutativ va assotsiativ ekanligini isbotlang. Bu amalga nisbatan Q to’plamda neytral element mavjudmi? a=8 elementga teskari elementni toping.
8. Quyidagi algebralarning qaysilari yarim gruppa, qaysilari monoid, qaysilari gruppa bo’ladi.
a)(Z; + ) b) (Z; ^.) d) (Q; +) e) (Q; ^.) f) (R;+) g) (R;+) h) (Z \{0}; ^.)
i) (Q\{0}; ^.) j) (R \{0}; ^.) k) (n Z,+) bu erda nN;
l) ( {-1;1}; ^.) m) ( {a^x; xR}; ^.) bu erda aR, a>0,
9. 1) (Z[ ]; +;0), Z[ ] = {a+b : a,bZ}; (Q[ ;+0), Q[ ]={a+b : abQ) algebralarning gruppa ekanligini isbotlang.
10. Agar bo’lsa, (K; ^. ,1) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang.
11. Agar bo’lsa (K; ^. ,1) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang.
12. Agar Q₀=Q\{0} to’plamda o binar amal quyidagicha, ya'ni (a,bQ₀) aob= , kabi aniqlangan bo’lsa, (Q₀;°,2) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang.
13. Agar G=(G; °,1) gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun a²=1 shart bajarilsa,
G ni kommutativ gruppa ekanligini isbotlang.
14. Agar G=(G; °,1) gruppa bo’lsa, u holda (a,bG) (a^.b)^-1b^-1a^-1 ekanligini isbotlang.
15. Agar G={e,a,b} va F={e,x,y,z} to’plamlar amallarga mos ravishda quyidagi Kelli jadvallari bilan berilgan bo’lsa, bu to’plamlarni shu amallarga nisbatan Abel gruppasi bo’lishini isbotlang:

^.	E	a	b		^.	E	x	Y	z
e	E	a	b		e	E	x	Y	z
a	A	b	e		x	X	y	Z	e
b	B	e	a		y	Y	z	E	x
					z	Z	e	X	y

16. Aytaylik
R\{0} to’plamda aniqlangan funksiyalar to’plamida amal (f_i^.f_j)(x)=f_i(f_j(x)) i,j=0,1,2,3,4,5 ko’rinishda berilgan bo’lsin. U holda (E; ^.; f₁) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang. Bu amal uchun Kelli jadvalini tuzing.
17. Aytaylik
R\{0,1} to’plamda aniqlangan funksiyalar to’plamida amal (f_i^.f_j) (x)=f_i(f_j(x)) i,j=0,1,2,3,4,5 ko’rinishda berilgan bo’lsin. U holda (E; ^.; f₀) algebraik sistemani gruppa ekanligini isbotlang. Bu amal uchun Kelli jadvalini tuzing.
18. a) (2 Z;+;0) gruppa ( Z; +, 0 ) gruppaning qism gruppasi ekanligini isbotlang.
b) ({2^x:xZ}; o ; 1) gruppa (Q\{0}; o ; 1) gruppaning qism gruppasi ekanligini
isbotlang.
d) ( Z; + ; 0 ) gruppa (Z[ ];+;0) gruppaning qism gruppasi ekanligini
isbotlang.
19. Sonlarni odatdagidek qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan quyidagi to’plamlarning qaysi biri halqa tashkil etadi?
a) 2Z; b) mZ; d) Q; e) Z[ ]; f) 2Z[ ]; g) Q[ ];
h) E={a+b +c : a,b,cZ}.
22. Aytaylik (E;+,0) - Abel gruppasi bo’lsin. Agar E da ko’paytirish amalini (a,bE) a^.b=0 kabi aniqlasak, (E;+, ^. ,0) ni halqa ekanligini isbotlang.
23. Agar (K;+, ^. ,0) halqa bo’lsa, (a,b)K lar uchun quyidagilarning to’g’ri ekanligini isbotlang.
a) a+b=a=>b=0 e) a+b=0=>b=-a
b) -(-a)=a g) a^.0=0^.a=0
d) a^.(-b)=(-a)^.b=-(ab) h) (-a)^.(-b)=a^.b
24. Agar ={a+b +c : a,b,cQ} bo’lsa, ( ;+, ^o ,0,1) ni maydon bo’lishini isbotlang.
25. Maydon nolning bo’luvchilariga ega emasligini isbotlang.
26. Agar (P;+, ^o ,0,1) maydon bo’lsa, u holda quyidagilarni isbotlang:
a) (a,bP) a^.b=1=> a≠0b=a^-1
b) (a,b,c,dP) b≠0, d≠0 =>
d) (a,bP) a^.b=0=> (a=0b=0)
i) (a,b,c,dP) a≠0, b≠0,
e) (a,b,c,dP) b≠0, d≠0 <=>ad=bc
j) (a,b,c,dP) b≠0, c≠0 =>
f) (a,b,c,dP) b≠0, d≠0
k) (a,bP) a^.b=a^.c=>b=c
l) (a,b,c,dP) b≠0,
m) (a,bP) a^.b≠0=>(a≠0b≠0)

Kombinatorika elementlari
4.1. Birlashmalar
Kombinatorika masalasi. Elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topish bilan bog`liq masalalar kombinatorika masalalari deyiladi. Bunday masalalar matematika fanining tarmog`i – kombinatorikada o`rganiladi. Kombinatorika asosan, XVII – XIX asrlarda mustaqil fan sifatida vujudga kelgan bo`lib, uning rivojida B. Paskal, P. Ferma, G. Leybnis, Y. Bernulli, L. Eyler kabi olimlar katta hissa qo`sganlar.
Kombinatorikada, asosan, chekli to`plamlar, ularning qism to`plamlari, chekli to`plam elementlaridan tuzilgan kortejlar va ularning sonini topish masalalari o`rganilgani uchun uni to`plamlar nazariyasining bir qismi sifatida qarash mumkin.
1-ta'rif. Har qanday narsalardan tuzilgan va bir-birlaridan yo shu narsalarning tartibi bilan yoki shu narsalarning o’zlari bilan farq qiluvchi turli gruppalar umuman birlashmalar deb aytiladi.
Agar 10 xil raqam; 0, 1, 2, ..., 9 dan har birida bir necha raqamdan qilib gruppalar tuzsak, masalan: 123, 312, 8056, 5630, 42 va shunga o’xshash turli birlashmalar hosil qilamiz. Ulardan ba'zilari, masalan, 123 va 312 faqat narsalarning tartibi bilan farq qiladi, boshqalari esa, masalan, 8056 va 312 o’zlaridagi narsalar bilan (hatto narsalarning soni bilan ham) farq qiladi.
Birlashmalarni tuzgan narsalar elementlar deb ataladi. Elementlarni a, b, c, ... harflar bilan belgilaymiz.
Birlashmalar uch xil bo’lishi mumkin; o’rinlashtirish, o’rin almashtirish va gruppalash. Ularning har birini ko’rib chiqamiz.