=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

4.2. To`plamlar ustida yig`indi va ko`paytma qoidalari
Matematikada to`plamlar ustida amallar bajarganda ularning birlashmasi, kesishmasi va Dekart ko`paytmasida nechta element borligini bu amallarni bajarmasdan hisoblashga to`g`ri keladi.
Aytaylik A va B to`plamlar bo`lsin. A to`plam elementlari sonini n(A), B to`plam elementlari sonini n(B) deb belgilaylik. Bu holda quyidagi qoidalar o`ringa ega bo`ladi.

1. 
   Yig`indi qoidasi:
   

Bu qoida qo`shiluvchi to`plamlar uchta bo`lganda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi.

2. 
   Ko`paytma qoidasi:
   

To`plamlar soni bir nechta bo`lganda ham o`rinli:

Misol. Sinfda 40 ta o`quvchi bor. Ulardan 32 tasi matematika to`garagida, 21 tasi fizika to`garagida shug`ullanadi. 15 ta o`quvchi ikkalasida ham shug`ullanadi. Qancha o`quvchi ikkalasida ham shug`ullanmaydi.
Yechish. A – matematika to`garagida shug`ullanuvchi o`quvchilar to`plami, B – to`garagida shug`ullanuvchi oquvchilar to`plami. Masala shartiga ko`ra n(A)=32, n(B)=21, n(A B)=15 bulardan ikkalasida ham shug`ullanmaydigan o`quvchilar soni 40 – 38 = 2. Javob 2.
Savollar

1. 
   Nyuton binomi formulasini keltiring.
   
2. 
   Nyuton binomi qanday xossalarga ega?
   
3. 
   Barcha binomi koeffisentlar yig`indisi nimaga teng?
   
4. 
   Binomi yoyilmasining umumiy hadini ifodalovchi formulani yozing.
   
5. 
   Toq va juft o`rinda turuvchi binomial koeffisentlar qanday xossaga ega?
   

4.3. O’rinlashtirishlar
Turli birlashmalar tuzadigan narsalarimizning soni uchta (masalan, 3 karta) bo’lsin; bu narsalarni a, b va c bilan belgalaymiz. Ulardan quyidagi birlashmalarni tuzish mumkin; bittadan:
a, b, c;
ikkitadan:
ab, ac, bc, ba, ca, cb
va uchtadan:
abc, acb, bac, bca, cab, cba,
Bu birlashmalardan, 2 tadan tuzilgan birlashmalarni olaylik. Ular bir-birlaridan, yo narsalari bilan (masalan, ab va ac) yoki narsalarning tartibi bilan (masalan, ab va ba) farq qiladi, ammo ulardagi narsalarning soni bir xil. Bunday birlashmalar uch elementni 2 tadan o’rinlashtirish deb ataladi. m elementni n tadan o’rinlashtirish deb shunday birlashmalarga aytiladiki, ularning har birida, berilgan m elementdan olingan n ta element bo’lib, ular bir-birlaridan e elementlari bilan, yoki elementlarning tartibi bilan farq qiladi (demak, nm faraz qilinadi).
Masalan, yuqoridagi 3 tadan olingan birlashmalar uch elementdan tuzilgan 3 tadan o’rinlashtirishlar bo’ladi (faqat tartiblari bilan farq qiladi), 2 tadan olingan birlashmalar, uch elementni 2 tadan o’rinlashtirish bo’ladi (yo narsalari bilan yoki tartibi bilan farq qiladi). Berilgan m elementdan tuzilgan o’rinlashtirishlar 1 tadan, 2 tadan, 3 tadan, ... va nihoyat, m tadan bo’lishlari mumkin.
m ta elementdan tuzish mumkin bo’lgan barcha o’rinlashtirishlar sonini, ularning o’zlarini tuzmasdanoq aniqlay olamiz. Bu sonni A_mⁿ shaklida belgilash qabul qilingan (bundagi A - fransuzcha "arrangemenS" degan so’zning bosh harfi bo’lib "o’rinlashtirish" degan ma'noni beradi). Bu sonni topish uchun berilgan elementlardan mumkin bo’lgan barcha o’rinlashtirishlarni tuzishga imkon beradigan usulni ko’rib chiqamiz.
Bizga m ta element: a, b, c, ..., k, l berilgan bo’lsin. Eng oldin ularni 1 tadan joylashtirib, barcha o’rinlashtirishlarni tuzamiz. Ma'lumki, ular m ta bo’ladi. Demak: A_m¹=m. Endi 2 tadan joylashtirib, barcha o’rinlashtirishlarni tuzamiz. Buning uchun oldingi 1 tadan tuzilgan o’rinlashtirishlarning har biri eniga qolgan barcha m-1 ta elementni 1 tadan ketma-ket qo’yib chiqamiz. Chunonchi, a element eniga, qolgan b, c, .., k, l elementlarning hammasini qo’yib chiqamiz va shunga o’xshash. U holda quyidagicha 2 tadan tuzilgan o’rinlashtirishlarni hosil qilamiz:

ab,ac,ad,....,ak,a1;(m-1 o’rinlashtirish)
ba,bc,bd,....,bk,bl;(m-1 o’rinlashtirish)
m-qator ca,cb,cd,....,ck,cl; (m-1 o’rinlashtirish)
…………………
la,1b,1c,...,1k; (m-1 ma o’rinlashtirish)
Barcha elementlar m ta bo’lganlikdan har bir o’rinlashtirishdan bir elementdan olsak m-1 ta 2 tadan o’rinlashtirish hosil bo’ladi va 2 tadan o’rinlashtirishning umumiy soni (m-1)m bo’ladi. Bulardan boshqa 2 tadan o’rinlashtirishlar bo’lmasligi ochiq ko’rinib turibdi. Demak: