=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

P_m =A_m^m = m(m-1)(m-2)...3^.2^.1=1^.2^.3...(m-1)m
m ta elementdan mumkin bo’lgan barcha o’rin almashtirishlarning soni 1 dan m gacha natural sonlarning ko’paytmasiga teng.
1) To’qqizta har xil qiymatli raqam bilan nechta to’qqiz xonali son yozish mumkin?
Izlangan son:
P₉ = =362880
2) 12 kishilik ovqat hozirlangan stolga 12 kishini necha turli o’tkazish mumkin?
O’tkazish turlarining soni quyidagiga teng: 1^.2^.3 ... 12 = 479001600
Eslatma. 1 dan m gacha natural sonlarning ko’paytmasi (qisqacha bunday belgilanadi: m! ning ortib borishi bilan juda tez o’sadi: chunonchi, m=12 bo’lganda u 479001600, m=100 bo’lganda u shunday son bilan ifoda qilinadiki, uni tasvirlash uchun 158 raqam yozish kerak bo’ladi. 0! = 1 deb qabul qilingan.
n ta turli elementdan takrorlash bilan chunonchi, birinchi tipdagi k ta elementdan, ikkinchi tipdagi k₂ ta elementda, .... n-tipdagi k_n ta elementdan tuzilgan, mumkin bo’lgan o’rin almashtirishlar soni
formula bilan aniqlanadi.

4.4. Gruppalash
Agar m ta elementdan n tadan tuzish mumkin bo`lgan barcha o`rinlashtirishlarni bir – birlaridan, eng kamida bir element bilan farq qiladiganlarini tanlab olsak, u holda gruppalar deb aytilgan birlashmalarni hosil qilamiz. Masalan, to`rt element a, b, c va d dan 3 tadan olib tuzilgan gruppalar bunday bo`ladi:
abc, abd, acd, bcd
Agar bu gruppalarning har birida mumkin bo`lgan barcha o`rin almashtirishlarni qilsak, to`rt elementdan 3 talab mumkin bo`lgan barcha o`rinlashtirishlarni hosil qilamiz:

abc acd bac bca cad cba

abd adb bad bda dab dba

acd adc cad cda dac dca

bcd bdc cbd cdb dba dcb

Bunday o`rinlashtirishlarning soni 6·4=24 bo`ladi. Shunday qilib m ta elementdan n tadan olib tuzilgan barcha o`rinlashtirishlar soni m elementdan n tadan olib tuzilgan barcha gruppalar soni bilan n ta elementdan tuzish mumkin bo`lgan barcha o`rin almashtirishlar sonining ko`paytmasiga teng, ya’ni:

bunda ifoda m ta elementdan n tadan olib tuzilgan barcha gruppalar sonini belgilaydi. (C – fransuzcha “combinatsion” so`zining bosh harfi, uning ma’nosi “gruppalash” demakdir.) Bunday gruppalarning quyidagi formulasini chiqaramiz:

Masalan:
va shunga o`xshash.
1) Bir vazifaga ko`rsatilgan 10 nomzoddan uch kishi saylanishi kerak. Saylovdagi turli imkoniyatlar qancha bo`lishi kerak?
Izlangan son o`n elementni 3 tadan joylashtirib tuzilishi mumkin bo`lgan barcha gruppalar sonini tashkil qiladi, ya’ni

2) 52 xil kartadan iborat dastadan 13 kartani necha xil qilib olish mumkin?
Izlangan son, 52 ta kartadan 13 tadan olib tuzilgan gruppalar sonidan iborat, ya’ni:

4. Gruppalar soni formulasining boshqacha shakli. Gruppalar soni formulasining surat va maxrajini ushbu 1·2·3 . . . . (m-n) ko`paytmaga ko`paytirib, uni boshqacha shaklga keltirish mumkin; u holda suratda m(m-1). . . [m-(n-1)] ·1·2·3 . . . . (m-n) ko`paytma chiqadi, bundan ko`paytuvchilarning o`rrnini alishtirib shunday yozsak bo`ladi:
1·2·3 . . . . (m-n)[m-(n-1)] . . . m
Demak:

5. Gruppalashning xossasi. Bu formula n ni m-n bilan almashtirib, shuni chiqara olamiz:

Bu formulani o`tgan formula bilan solishtirib, shuni topamiz:

Quyidagi oddiy muhokama ham shu xulosaga keltiradi: agar m ta elementdan, bir gruppa tuzish uchun qanday bo`lmasin n ta elementni tanlab olsak, qolgan elementlarning hammasi m-n ta elementdan bir gruppa tashkil qiladi. Shunday qilib, n ta elementdan tuzilgan har bir gruppaga m-n ta elementdan tuzilgan bir gruppa to`g`ri keladi, va aksincha; demak:

Bu munosabat, agar bo`lsa, m ta elementdan n tadan olib tuzilgan gruppalar sonini topishi soddalashtirishga imkon beradi. Masalan:

n ta turli elementdan k tadan takrorlangan gruppalar soni = formula bilan aniqlanadi.