=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

§. Kompleks sonlar
4.1.Kompleks son tushunchasi
Shu vaqtga qadar biz faqat haqiqiy sonlar bilan ish ko`rdik. Istalgan o`lchash natijalarini musbat haqiqiy sonlar yordamida ifodalash mumkin ekanligiga ishonch hosil qildik. Barcha arifmetik amallar ( qo`shish, ayirish, ko`paytirish, bo`lish) haqiqiy sonlar to`plamida bajarilganda natija yana haqiqiy son bo`ladi. lekin shunday amal borki, bu amal bajarilganda haqiqiy sonlar to`plami yetarli bo`lmay qoladi. Bu kvadrat ildiz chiqarish amalidir. Bu esa sonlar to`plamini yanada kengaytirish ehtiyojini vujudga keltirdi.
Kompleks son tushunchasiga odatda quyidagi tenglama orqali kelinadi x²+1=0.
Ushbu tenglamani qanoatlantiruvchi haqiqiy son yo‘q. Bu tenglama ildizga ega bo‘lishi uchun yangi, mavhum sonlar deb ataluvchi sonlar kiritiladi. Mavhum va haqiqiy sonlar umumiy nom bilan kompleks son deb ataladi.
Kompleks son deb z=x+iy ko‘rinishidagi ifodaga aytiladi. Bunda x va u sonlar haqiqiy sonlar bo‘lib, x ga z sonning haqiqiy qismi, y ga esa z sonning mavhum qismi, i ni mavhum birlik deyiladi. i²= -1 deb qabul qilinadi. x²+1=0 tenglamani yechimi esa x = i deb qabul qilinadi.
Agar x = 0 bo‘lsa, z = yi ga sof mavhum son deyiladi.
2. z = x+yi kompleks sonni tekislikdagi dekart koordinatalari sistemasida A(x;u) nuqta bilan tasvirlash qabul qilingan. U holda x = z + oi haqiqiy son absissa o‘qida yotuvchi V(x;u) nuqta bilan yi = 0 + yi mavhum son ordinata o‘qida yotuvchi S(o;u)
nuqta bilan tasvirlanadi. (1- chizma)

С(0;y) A(x,y)

O x

O x B

o = o+oi songa mos keluvchi nuqta koordinata boshi bo‘ladi. Masalan, z = –3 + 4i,  = 5,  =-7i sonlar mos ravishda A₁( - 3;4), B₁(5;0) va C₁(0;7) nuqtalar bilan tasvirlanadi.
Bunday tasvirlashda absissa o‘qi - haqiqiy o‘q va ordinata o‘qi - mavhum o‘q deb
yuritiladi.
z=x+yi kompleks sonni boshi koordinata boshida va uchi A(x;y) nuqtada yotuvchi vektor bilan ham tasvirlash mumkin (1-chizma). Bu holda haqiqiy sonlar, haqiqiy o‘qda yotuvchi vektorlar bilan va mavhum sonlar mavhum o‘qda yotuvchi vektorlar bilan tasvirlanishi ravshan. Umuman aytganda, kompleks sonlar to‘plami bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plami orasida biektiv akslantirish mavjud.
z = x+yi kompleks sonining geometrik tasvirini ifodalovchi vektorning uzunligi bu kompleks sonning moduli deyiladi va u r=|z|=|x+y| ko‘rinishida belgilanadi.