=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

4.2. Kompleks sonning triganometrik shakli va kompleks sonlar ustida arifmetik amallar
r=|z| ni Pifagor teoremasi bo‘yicha 1- chizmadagi to‘g‘ri burchakli AOV uchburchakda topamiz. Bunda bo‘ladi.
Masalan a = –3+4i, sonlarning modullari mos ravishda

ga teng.
Noldan farqli har bir kompleks sonning moduli musbat haqiqiy sondir. Ox o‘qining musbat yo‘nalish bilan vektor orasidagi burchakni  deb belgilaymiz. Unda AOV dan x=r cos va y = rsini larni topamiz. Bularni z=x+yi ga qo‘yamiz:
z=r(cos +isin ) (1)
z kompleks sonning (1) shakliga uning trigonometrik shakli deyiladi. Bunda r≥ 0, lekin istalgan (manfiy, nol , musbat) qiymatlarni qabul qila oladi. Bu  burchak z kompleks sonining argumenti deb ataladi. z = x+yi ifoda z kompleks sonning algebraik shakli deb yuritiladi.
(1) ni umumiy shaklda z=r((cos+2k) +(isin+2k)) deb yozish mumkinligi ravshandir, bunda k - istalgan butun son.
Har bir kompleks sonni yuqorida aytilgan shakllarini biridan ikkinchisiga o‘tkazish mumkin. Masalan, algebraik shakldagi z= kompleks sonni trigonometrik shakliga keltiraylik. Buning uchun r bilan  ni topib ularning qiymatlarini (1)ga qo‘yamiz. Bu yerda r= 2. Endi va lardan uning to‘rtinchi chorakda ekanligi va 300° ga yoki ga tengligini ko‘ramiz. Shunday qilib, hosil bo‘ladi.
3. Ixtiyoriy shaklda berilgan kompleks sonlar ustida qo‘shish, ayrish, bo‘lish va ko‘paytirish amallari qo‘yidagicha bajariladi.
I.
II.
Bu erdan
III. bu yerda
Biz endi quyidagi trigonometrik shakldagi kompleks sonlar ustida ko‘paytirish va bo‘lish amallarni ko‘rib o‘tamiz.
x=rcos , y = rsini formulalardan kompleks sonning trigonometrik shakli kelib chiqadi.
z=r(cos +isin ) (1)
bundan cos =  ; sin= bo`ladi.
Kompleks sonning trigonometrik shaklidagi ko‘rinishidan foydalanib
z₁=r(cos₁ +isin₁ )
z₂=r(cos₂ +isin₂ )
I. (2)
II. (3)
bu yerda z₂  0
Demak, trigonometrik shakldagi ikkita kompleks sonning bo‘linmasi ham trigonometrik shaklga ega bo‘lib, bo‘linmaning moduli bo‘linuvchi va bo‘luvchi modullarining bo‘linmasiga, argumenti esa bo‘linuvchi va bo‘luvchi argumentlarning ayirmasiga teng.
Misol. z₁ =7(cos20⁰–isin20⁰) va z₂ =4(cos10⁰+isinl0⁰) sonlarning bo‘linmasini topaylik. Avvalo z₁ ni trigonometrik shaklga keltiramiz:
z₁=7(cos(-20⁰)–isin(-20⁰))
Endi (3) formula bo‘yicha

(2) formula bo‘yicha
zⁿ=rⁿ(cos +isin ) (4)
n- natural son. Faraz qilaylik bunda shunda (1) formulaga asosan

demak bu deb arifmetik ildiz deb tushuniladi.
r ga k =0,1,2,…,n-1 qiymatlarni olish yetarlidir, chunki k ning boshqa qiymatlarida topilgan ildiz qiymatlarining takrori bo‘ladi.
Shunday qilib:
(5)
k =0,1,2,…,n-1
Misol. = ni toping. Haqiqatdan (2) formula
asosida
₀= , ₁=