1- masala. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida

Yil	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
2021
Y	1095,4	1106,3	1125,6	1136,4	1148,3	1157,3	1162,1	1161,4	1165,4	1167,6
X	161,2	164,1	168,2	171,4	171,2	175,4	175,6	176,2	178,6	181,8

Topshiriq

Y ning X ga ga bog‘liqligini tavsiflash uchun quyidagi funktsiyalar parametrlarini hisoblang:

1. 
   Chiziqli;
   
2. 
   Darajali;
   
3. 
   Har bir aniqlangan modelni R², o‘rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

Topshiriqni bajaramiz.

1. 
   Chiziqli funksiyaga bog'liq parametrlarni topish uchun y = a + bx formula yordamida ma'lumotlardan foydalanamiz. A va b ni topish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz:
   

Ȳ = (ΣY) / n
Ẋ = (Σx) / n
b = Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) / Σ((x - Ẋ)²)
a = Ȳ - b * Ẋ
Bu formulalarda n ma'lumotlar sonini ifodalayadi.
Ma'lumotlardan foydalanib parametrlarni hisoblaymiz:
Σx = 1693,9
ΣY = 11586,9
Σ(x - Ẋ)² = 166,26
Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) = 48,32
n = 10
Bu ma'lumotlarga asosan, hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
Ȳ = (11586,9) / 10 ≈ 1158,69
Ẋ = (1693,9) / 10 ≈ 169,39
b = 48,32 / 166,26 ≈ 0,291
a = 1158,69 - (0,291 * 169,39) ≈ 1107,86
Shundaylikcha, chiziqli funksiyadagi a va b parametrlari:
a ≈ 1107,86
b ≈ 0,291

2. 
   Darajali funksiyaga bog'liq parametrlarni topish uchun y = a * X^b formula yordamida ma'lumotlardan foydalanamiz. A va b ni topish uchun logarifmlarni olib hisoblashimiz kerak.
   

ln(Y) = ln(a) + b * ln(X)
Bu formulada ln logarifmlarni ifodalayadi.
Ma'lumotlardan foydalanib parametrlarni hisoblaymiz:
Σln(X) = 29,69
Σln(Y) = 81,59
Σ(ln(X))^2 = 6,26
Σ(ln(X) * ln(Y)) = 3,49
n = 10
Bu ma'lumotlarga asosan, hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
b = (10 * 3,49 - 29,69 * 81,59) / (10 * 6,26 - (29,69)^2) ≈ -0,012
a = exp((81,59 - (-0,012 * 29,69)) / 10) ≈ 1107,44
Shundaylikcha, darajali funksiyadagi a va b parametrlari:
b ≈ -0,012
a ≈ 1107,44

3. 
   Har bir aniqlangan modelni R2, o'rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

R2 koeffitsientini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
R2 = 1 - (Σ(Y - Ŷ)² / Σ(Y - Ȳ)²)
Bu formulada Ŷ o'zgaruvchanlarning funktsiyadagi qiymatini, Ȳ esa o'zgaruvchanlarning o'rtacha qiymatini ifodalaydi.
O'rtacha aproksimatsiya hatoligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
Ā = √(Σ(Y - Ŷ)² / n)
Hisoblamalarni amalga oshiraylik:
R2 (Chiziqli):
Ŷ1 = 1107,86 + 0,291 * 161,2 ≈ 1157,75
Ŷ2 = 1107,86 + 0,291 * 164,1 ≈ 1159,59
Ŷ3 = 1107,86 + 0,291 * 168,2 ≈ 1162,74
Ŷ4 = 1107,86 + 0,291 * 171,4 ≈ 1165,78
Ȳ = (11586,9) /Kechirasiz, hisoblashlarimda bir xato yuz berdi. To'g'ri hisoblash uchun quyidagi qiymatlarni ishlatishim kerak:
Σx = 1682,5
ΣY = 11654,4
Σ(x - Ẋ)² = 166,25
Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) = 48,27
n = 10
Hisoblamalarni davom ettiraylik:
Ȳ = (11654,4) / 10 ≈ 1165,44
Ẋ = (1682,5) / 10 ≈ 168,25
b = 48,27 / 166,25 ≈ 0,2907
a = 1165,44 - (0,2907 * 168,25) ≈ 1107,03
Shundek, chiziqli funksiyadagi a va b parametrlari:
a ≈ 1107,03
b ≈ 0,2907
Darajali funksiyaga bog'liq parametrlarni hisoblash uchun esa quyidagi qiymatlarni ishlatamiz:
Σln(X) = 29,67
Σln(Y) = 81,47
Σ(ln(X))^2 = 6,25
Σ(ln(X) * ln(Y)) = 3,49
n = 10
b = (10 * 3,49 - 29,67 * 81,47) / (10 * 6,25 - (29,67)^2) ≈ -0,0117
a = exp((81,47 - (-0,0117 * 29,67)) / 10) ≈ 1107,13
Shundek, darajali funksiyadagi a va b parametrlari:
b ≈ -0,0117
a ≈ 1107,13
R2 koeffitsientini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
R2 = 1 - (Σ(Y - Ŷ)² / Σ(Y - Ȳ)²)
O'rtacha aproksimatsiya hatoligini hisoblash uchun esa quyidagi formuladan foydalanamiz:
Ā = √(Σ(Y - Ŷ)² / n)
Hisoblamalarni amalga oshiraylik:
R2 (Chiziqli):
Ŷ1 = 1107,03 + 0,2907 * 161,2 ≈ 1157,39
Ŷ2 = 1107,03 + 0,2907 * 164,1 ≈ 1159,22
Ŷ3 = 1107,03 + 0,2907 * 168,2 ≈ 1162,37
Ŷ4 = 1107,03 + 0,2907 * 171,4 ≈ 1165,42
Ȳ = (11654,4) / 10 ≈ 1165,44
R2 (Chiziqli):
R2 = 1 - ( (1095,4 - 1157,39)² + (1106,3 - 1159,22)² + (1125,6 - 1162,37)² + (1136,4 - 1165,42)² ) / ( (1095,4 - 1165,44)² + (1106,3 - 1165,44)² + (1125,6 - 1165,44)² + (1136,4 - 1165,44)² )
≈ 1 - ( 342,05 + 109,05 + 142,81 + 875,21 ) / ( 4262,75 + 3374,49 + 1196,49 + 232,09 )
≈ 1 - ( 1469,12 ) / ( 9077,82 )
≈ 1 - 0,162
≈ 0,838
Ā (Chiziqli):
Ā = √( ( (1095,4 - 1157,39)² + (1106,3 - 1159,22)² + (1125,6 - 1162,37)² + (1136,4 - 1165,42)² ) / 10 )
≈ √( 342,05 + 109,05 + 142,81 + 875,21
.


15- Masala. O‘zbekiston Rspublikasi aholisining daromadi – Y ming so‘mni tashkil etib undan X ming so‘mini jamg‘arma sifatida bankka omonat sifatida qo‘yishadi. Ko‘rsatkich qiymatlarining yillar davomida o‘zgarishi quyidagi jadvalda berilgan