1- masala. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida

Yil	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
2021
Y	571	731,0	831,1	1122,0	1453,1	1938,4	2733,5	571	731,0	831,1
X	36,3	42,4	46,3	57,5	70,2	88,9	119,4	36,3	42,4	46,3

Topshiriq:

Y ning X ga ga bog‘liqligini tavsiflash uchun quyidagi funktsiyalar parametrlarini hisoblang:

4. 
   Chiziqli;
   
5. 
   Darajali;
   
6. 
   Har bir aniqlangan modelni R2, o‘rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

Chiziqli modelni hisoblash uchun, Y va X o'zgaruvchilari o'rtasidagi bog'lanishni aniqlash kerak. Bu uchun, Y va X qiymatlari orasidagi lineyka funktsiyasini topish uchun o'zgaruvchilarni moslashtiramiz.
Y = aX + b
Bu formulada a va b chiziqli modelning parametrlaridir. Uchunchi koeffitsiyent a o'zgaruvchining o'zgarishlarini ifodalaydi va b - chiziqli modelning boshlang'ich nuqtasini anglatadi.
Y va X qiymatlari uchun moslashtirishning eng yaxshi yo'lini topish uchun eng yomon kvadratlar yig'indisini (SSE) minimallashtirishga harakat qilamiz.
SSE = ∑(Y - aX - b)^2
Eng yomon kvadratlar yig'indisini minimallashtirish uchun, a va b ni quyidagi formulalar orqali topishimiz:
a = ∑(X - X̄)(Y - Ȳ) / ∑(X - X̄)^2
b = Ȳ - aX̄
Bu formulalarda, ∑ belgisi yig'indining summasini ifodalaydi, X̄ - X o'zgaruvchilari o'rtachasini, Ȳ - Y o'zgaruvchilarining o'rtachasini ifodalaydi.
Darajali modelni hisoblash uchun, Y va X o'zgaruvchilarining logarifmlarni olishimiz kerak. Bunga ko'ra, Y va X o'zgaruvchilarini logarifmga olib, chiziqli modelni hisoblash uchun 4. javobni qo'llaymiz:
log(Y) = a log(X) + b
Bu formulada ham a, ham b darajali modelning parametrlari hisoblanadi. Uchunchi koeffitsiyent a o'zgaruvchining o'zgarishlarini ifodalaydi va b - darajali modelning boshlang'ich nuqtasini anglatadi.
R2 qiymati va o'rtacha aproksimatsiya hatoligi (Ā) hisoblash uchun, chiziqli yoki darajali modellarni o'rnatingan qiymatlarni yoki yuqoridagi formulalarni qo'llaymiz. R2, o'zgaruvchilar tomonidan ifodalangan o'zgarishlarning ma'lumotlarni qanday yaxshi tavsiflashini aks ettiradi. Ā esa o'zgarishlarning o'rtacha hatolarining o'lchamidir.
R2 qiymati formulasi:
R2 = 1 - (SSE / SST)
Bu formulada SSE yomon kvadratlar yig'indisi hisoblanadi, SST esa yagona o'zgaruvchining kvadratlar yig'indisi hisoblanadi. SSE va SST ni quyidagi formulalar orqali hisoblaymiz:
SSE = ∑(Y - aX - b)^2
SST = ∑(Y - Ȳ)^2
Burada, ∑ belgisi yig'indining summasini ifodalaydi, Y o'zgaruvchilar to'plamining o'rtachasini ifodalaydi, a va b chiziqli yoki darajali modelning parametrlarini ifodalaydi.
O'rtacha aproksimatsiya hatoligi formulasi:
Ā = √(SSE / n)
Bu formulada n, ma'lumotlar sonini ifodalaydi.
Ushbu formulalar va hisobotlar yordamida Y ning X ga bog'liqligini tavsiflash uchun parametrlarni hisoblash mumkin.