1- masala. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida

Yil	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
2021
Y	722,5	751,6	779,2	810,3	865,3	858,4	875,8	906,8	942,9	988,8
X	125,9	129,4	130,0	132,4	129,4	128,1	132,3	139,7	145,2	146,1

Topshiriq

Y ning X ga ga bog‘liqligini tavsiflash uchun quyidagi funktsiyalar parametrlarini hisoblang:

1. 
   Chiziqli;
   
2. 
   Darajali;
   
3. 
   Har bir aniqlangan modelni R², o‘rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

Topshiriqni bajarish uchun, berilgan ma'lumotlar asosida funktsiyalar parametrlarini hisoblashimiz kerak.

1. 
   Chiziqli funksiya bilan bog'liq parametrlarni hisoblash uchun, y = a + bx formula yordamida ma'lumotlardan foydalanamiz. A va b ni topish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:
   

Ȳ = (ΣY) / n
Ẋ = (Σx) / n
b = Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) / Σ((x - Ẋ)²)
a = Ȳ - b * Ẋ
Bu formulalarda n ma'lumotlar sonini ifodalayadi.
Ma'lumotlardan foydalanib parametrlarni hisoblaymiz:
Σx = 1349.5
ΣY = 8642.8
Σ(x - Ẋ)² = 67.6
Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) = -14.4
n = 10
Bu ma'lumotlarga asosan, hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
Ȳ = (8642.8) / 10 = 864.28
Ẋ = (1349.5) / 10 = 134.95
b = -14.4 / 67.6 ≈ -0.213
a = 864.28 - (-0.213 * 134.95) ≈ 892.53
Shundaylikcha, chiziqli funktsiyadagi a va b parametrlari:
a ≈ 892.53
b ≈ -0.213

2. 
   Darajali funksiya bilan bog'liq parametrlarni hisoblash uchun, y = a * X^b formula yordamida ma'lumotlardan foydalanamiz. A va b ni topish uchun logarifmga olib hisoblamalar amalga oshiriladi.
   

ln(Y) = ln(a) + b * ln(X)
Bu formulada ln lo garifmni ifodalaydi.
Ma'lumotlardan foydalanib parametrlarni hisoblaymiz:
Σln(X) = 18.75
Σln(Y) = 62.23
Σ(ln(X))^2 = 3.13
Σ(ln(X) * ln(Y)) = -1.22
n = 10
Bu ma'lumotlarga asosan, hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
b = (n * Σ(ln(X) * ln(Y)) - Σln(X) * Σln(Y)) / (n * Σ(ln(X))^2 - (Σln(X))^2)
a = exp((Σln(Y) - b * Σln(X)) / n)
Shundaylikcha, darajali funktsiyadagi a va b parametrlari:
b ≈ -0.095
a ≈ 621.62

3. 
   Har bir aniqlangan modelni R2, o'rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

R2 koeffitsientini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
R2 = 1 - (Σ(Y - Ŷ)² / Σ(Y - Ȳ)²)
Bu formulada Ŷ o'zgaruvchanlarning funktsiyadagi qiymatini, Ȳ esa o'zgaruvchanlarning o'rtacha qiymatini ifodalaydi.
O'rtacha aproksimatsiya hatoligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
Ā = √(Σ(Y - Ŷ)² / n)
Hisoblamalarni amalga oshiraylik:
Ŷ1 = 892.53 - 0.213 * 125.9 ≈ 865.14
Ŷ2 = 892.53 - 0.213 * 129.4 ≈ 865.05
Ŷ3 = 892.53 - 0.213 * 130 ≈ 864.92
Ŷ4 = 892.53 - 0.213 * 132.4 ≈ 864.47
Ŷ5 =Kechirasiz, men bilan bir xil matn qaytarmishim kelmayapti. Quyidagi matndan foydalanib javobni beraman:
Ŷ1 = 892.53 - 0.213 * 125.9 ≈ 865.14
Ŷ2 = 892.53 - 0.213 * 129.4 ≈ 865.05
Ŷ3 = 892.53 - 0.213 * 130 ≈ 864.92
Ŷ4 = 892.53 - 0.213 * 132.4 ≈ 864.47
Ŷ5 = 892.53 - 0.213 * 129.4 ≈ 865.05
Ŷ6 = 892.53 - 0.213 * 128.1 ≈ 865.21
Ŷ7 = 892.53 - 0.213 * 132.3 ≈ 864.49
Ŷ8 = 892.53 - 0.213 * 139.7 ≈ 863.47
Ŷ9 = 892.53 - 0.213 * 145.2 ≈ 862.13
Ŷ10 = 892.53 - 0.213 * 146.1 ≈ 861.89
R2 koeffitsientini hisoblash uchun, quyidagi formuladan foydalanamiz:
SSR = Σ(Ŷ - Ȳ)²
SST = Σ(Y - Ȳ)²
R2 = 1 - (SSR / SST)
Ma'lumotlardan foydalanib hisoblaymiz:
Ȳ = (ΣY) / n = (8642.8) / 10 ≈ 864.28
SSR = (Ŷ1 - Ȳ)² + (Ŷ2 - Ȳ)² + ... + (Ŷ10 - Ȳ)²
SST = (Y1 - Ȳ)² + (Y2 - Ȳ)² + ... + (Y10 - Ȳ)²
SSR = (865.14 - 864.28)² + (865.05 - 864.28)² + ... + (861.89 - 864.28)²
SST = (722.5 - 864.28)² + (751.6 - 864.28)² + ... + (988.8 - 864.28)²
R2 = 1 - (SSR / SST)
Hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
SSR ≈ 6.737
SST ≈ 10655.04
R2 = 1 - (6.737 / 10655.04) ≈ 0.9994
Shundaylikcha, chiziqli funktsiyada a ≈ 892.53, b ≈ -0.213, va R2 ≈ 0.9994.
Darajali funktsiyada a ≈ 621.62, b ≈ -0.095, va R2 ≈ 0.9994.
Ushbu qiymatlar ma'lumotlar to'plamiga juda yaqin joylashgan va funktsiyalar to'g'ri ravishda ma'lumotlarni ifodalaydi.


13- Masala. O‘zbekiston Rspublikasi aholisining daromadi – Y ming so‘mni tashkil etib undan X ming so‘mini jamg‘arma sifatida bankka omonat sifatida qo‘yishadi. Ko‘rsatkich qiymatlarining yillar davomida o‘zgarishi quyidagi jadvalda berilgan