1-§. To‘plamlar va ular ustida amallar

2.3-misol:
N 

 N
to‘plamda 

:
<
х
, 
у
> 

:
<
u
, 
v
> 

x
+ 
v
= 
y
+ 
u
munosabatni aniqlaymiz, bu yerda 
N–
natural sonlar to‘plamidir. 

–
munosabatning bu to‘plamda ekvivalentlik munosabati ekanligini 
isbotlang.
Yechimi
: 

munosabat refleksiv hisoblanadi, chunki <
х
,
у
>

<
х
,
у
> 
ekanligidan 
х
+ 
у
= 
у
+ 
х 
tenglik o‘rinli.
Endi

munosabatning simmetrikligini isbotlaymiz. Buning uchun 
agar <
х
, 
у
> 

<
u
, 
v
> bo‘lsa, u holda <
u
, 
v
> 

<
х
, 
у
> ekanligini isbotlash 
lozim. Haqiqatdan, agar 
x
+ 
v
= 
y
+ 
u 
bo‘lsa, u holda 
u
+ 
y
= 
v
+ 
x 
tenglik o‘rinlidir. 
1

R

R


R
R
R














0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
||
||
R














0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
||
||
1
R













1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
||
||
R













0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
||
||
R
R

||
||
R
R

0
1
0
1
0
1
0
0
0
11









r
0
1
0
1
0
0
0
0
0
12









r
0
1
0
0
0
0
0
0
0
13









r
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14









r
0
1
0
1
0
1
0
0
1
21









r




---


munosabatning tranzitivligini isbotlash uchun agar <
х
, 
у
> 

<
z
, 
t
> va <
z
, 
t
> 

<
u
, 
v
> bo‘lsa, u holda <
х
, 
у
> 

<
u
, 
v
> ekanligini 
isbotlash zarur va yetarli. Bu quyidagi shartga tengkuchlidir:
. 
Sistemadagi 
tenlamalarni 
qo‘shish 
yo‘li 
bilan 
ga ega bo‘lamiz. Tenglikni soddalashtirsak 
ga ega bo‘lamiz. Bu esa

munosabatning tranzitivligini 
isbotlaydi.

 
munosabatning refleksiv, simmetrik va tranzitivligi uning 
ekvivalent munosabat ekanligini bildiradi. 
2.4-misol
: 
to‘plamda 
munosabat 
ekvivalentlikni 
ifodalashini 
isbotlang. 
Ko'rsatilgan 
ekvivalentlikni qaysi bo'lim belgilaydi? 
Yechimi:
R
to‘plamda <1,1>, <2,2>, <3,3> jufliklarni mavjudligi 
uning refliksivligini bildiradi.
R
munosabat simmetrik. Unga teskari bo‘lgan 
munosabatni 
topib olamiz: 
.
simmetriklik shartidir.
Endi 
-tranzitivlik shartini tekshiramiz. 
, 
ekanligidan, 
. Shunday qilib, 
to‘plamda 
R
–munosabat 
ekvivalentlikdir.
Berilgan ekvivalentlikka mos bo‘laklashni aniqlash uchun 1,2,3 
elementlardan tuzilgan ekvivalentlik sinfini aniqlaymiz: 
; 
; 
. 
Izlanayotgan bo‘laklash quyidagi ko‘rinishga ega: 
, 
.
2.5-misol:
Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan 100 ta 
talabadan o‘tkazigan so‘rovnoma natijalari o'quv kurslarida o‘qiydigan 
talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: ispan – 28, Nemis – 
30, французский – 42, ispan va Nemis – 8, ispan va fransuz – 10, 
Nemis va fransuz – 5, har uchchala tilga ham o‘rganayotgan talabalar –3 
nafarni tashkil etdi. 
а) Qancha talaba birorta ham kursga qatnashmagan? 
б) Qancha talaba faqat fransuz tilini o‘rgangan? 
u
y
v
x
u
t
v
z
z
y
t
x













,
u
t
z
y
v
z
t
x







u
y
v
x



 
3
,
2
,
1

A


3
,
3
,
1
,
3
,
2
,
2
,
3
,
1
,
1
,
1

R
1

R


3
,
3
,
1
,
3
,
2
,
2
,
3
,
1
,
1
,
1
1


R
1


R
R
R
R

2


3
,
3
,
2
,
2
,
1
,
1
2

R
R
R

2
 
3
,
2
,
1

A
 
 

  
3
,
1
,
1
:
1



R
x
x
 
 

  
2
,
2
:
2



R
x
x
 
 

  
3
,
1
,
3
:
3



R
x
x
 
3
,
1
 
2

---

в) Fransuz tili bilan shug‘ullanmasdan, faqat Nemis tili bilan 
shug‘ullanadigan talaba soni qancha?
Yechimi. Eyler-Venn diagrammasi aylanalarini Ispan, Fransuz, va 
Nemis tillarini o‘rganayotgan talabalar to‘plami shaklida tasvirlab 
olamiz. Hosil bo‘lgan sakkizta sohani masala shartida berilgan 
ma‘lumotlar bilan to‘ldiramiz. Natijalarni oxiridan boshlang‘ichiga 
qarab to‘ldirib boramiz.
Natijada quyidagi yechimlarga ega bo‘lamiz: 
а) 20, b) 30, v) 25. 
2.6-misol:
Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan 100 
talabadan o‘tkazigan so‘rovnoma natijalari o'quv kurslarida o‘qiydigan 
talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: faqat Nemis tili – 18, 
Nemis tilini o‘rganayotgan, ammo ispan tilinini o‘rganmayotgan – 23, 
Nemis va fransuz – 8, Nemis – 26, fransuz – 48, fransuz va ispan – 8, 
hech bir tilni o‘rganmayotgan talabalar soni – 24 nafarni tashkil etdi.
а) Qancha talaba ispan tilini o‘rganayapti? 
b) Qancha talaba faqat Nemis va ispan tilini o‘rganayapti? 
v) Qancha talaba Nemis va ispan tilini o‘rganayapti? 
g) Qancha talaba fransuz tilini ham ispan tilini ham o‘rganmagan?
Yechimi. 
N 
F 
3 
8-3=5 
U 
42-3-2-7=30 
5-3=2 
10-3=7 
I 
30-3-2-5=20 
28-3-7-5=13 
100-(13+20+30+2+7+5+3)=20 

---

Quyidagi natijalarga ega bo‘lamiz: 
a) 10+5+3=18, b) 0, v) 3, g) 35+5=40. 
 
Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlar 
1.
Agar 
,
A B
 
 va 
(
)
(
)
(
)
A B
B A
C D





, bo‘lsa, 
A
B
C
D
  

ekanligini isbotlang
. 
2. 
Qanda binary munosabatlar uchun
 
̅
 
o‘rinli ? 
3. 
 A
va
 B
–mos ravishda 
m
va
 n 
elementli chekli to‘plamalar 
bo‘lsin. 
a)
A
va
 B
to‘plamlar elementlariga nisbatan qancha binar munosabat 
mavjud? 
b)
A
dan
 B
ga qancha funksiya mavjud? 
c)
A
dan
 B
ga qancha in‘yektiv funksiya mavjud? 
d) 
m
va
 n
larning qanday qiymatida
A
va
 B
o‘rtasida o‘zaro bir 
qiymatli moslik mavjud? 
4. 
Ixtiyoriy 
f
funksiya uchun,
 
o‘rinli 
ekanligini isbotlang. 
5. 
R
=
 I A
(ayniylik munosabati) munosaabat bajarilgandagina 
A 
to‘plamda
 R
munosabat bir vaqtda ekvivalentlik va qisman tartblash munosabati 
bo‘lishini isbotlang.
6. N va NxN to‘plamlarda 
munosabatlarni aniqlaymiz. Bu 
munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘lishini isbotlang.
a)
b)
7. 
A
–tekislikdagi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami bo‘lsin. 
Quyidagi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘ladimi: 
N 
F 
8-5=3 
26-18- 
-3-5=0 
U 
48-5-3-5=35 
23-18=5 
8-3=5 
I 
18 
76-(35+5+3+ 
+5+0+18)= 
=10 
24 

---

а) to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi; 
б) to‘g‘ri chiziqlarning perpendilulyarligi? 
8. Haqiqiy sonlar to‘plamida 
R
munosabat quyidgicha aniqlangan: 
 
- ratsional son. 
R
– ekvivalentlik munosabati ekanligini isbotlang. 
9.
R
ekvivalentlik munosabati bo‘lsa, u holda
R 
-1 ham 
ekvivalentlik munosabati bo‘lishini isbotlang. 
10. 
R 
munosabat
X
da 
qisman (to‘liq) tartiblash 
munosabati 
bo‘lib,
 
bo‘lsa, 
ham 
A
da qisman (to‘liq) tartiblash munosabat 
bo‘lishini isbotlang.
11. Ixtiyoriy chekli to‘plamni tartiblash mumkinligini isbotlang. 
12.
R
А
munosabat 
A
to‘plamda, 
R
В
munosabat 
B
to‘plamda qisman 
tatiblash munosabati bo‘lsin.
 
1
1
2
2
1
2
1
2
,
,
(
,
)
A
B
a b
R
a b
a R a b R b

 


R
munosabat,
A
x
B
da qisman tatiblash munosabati bo‘lishini 
isbotlang. 
 
13. Quyida keltirilgan munosabatlardan qaysilari noto‘g‘ri 
keltirilgan va xatosini tushuntirib bering.
a) 
{2, , }
x
a x

, 
b) 
3 {1,{2,3}, 4}

, 
c) 
{1,sin }
x
x

, 
d) 
{ , } { ,{ , }, }
x y
a x y b

, 
e) 
{ }
a
a

, 
f) 
{ }
A
A

, 
g) 
{ }
A
A

, 
h) 
{ }
a
a

. 
14. Turli tillarini o‘rganayotgan 100 talabadan o‘tkazigan 
so‘rovnoma natijalari bo‘yicha hisobotda inspektor o'quv kurslarida 
o‘qiydigan talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: , har 
uchchala tilga ham o‘rganayotgan talabalar – 5, Nemis va ispan – 10, 
fransuz va ispan – 8, Nemis va fransuz – 20, ispan – 30, Nemis – 23, 
fransuz – 50 nafarni tashkil etdi. Hisobotni tayyorlagan inspektorno 
ishdan bo‘shtiahdi. Nima sababdan? 
15. Quyidagi juftlarning qaysi biri uchun 
A
B

, 
B
A

, 
A
B

munosabatlardan biri o'rnatiladi? 
a) 
{ , , , }
A
a b c d

, 
{ , , }
B
a c d

; 
b) 
A

, 
B

; 

---

c) 
A

, 
{ , , }
B
a b c

, 
{ , , }
B
b c a

? 
20
.
R:
x, 
y 
ni qoldiqsiz bo‘ladi munosabati bo‘lsa, |R| ni aniqlang
.
Bunda, 
x

A
; 
y

B 
bo‘lib
. 
A 
= {1, 2, 3, 4, 5}; 
B 
= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 
16. 
R:
A 
= {1, 2, 3, 4, 5}; 
B 
= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} to‘plam 
o‘rtasidagi
x < y
; 
x

A
; 
y

B
munosabatni belgilasa, |
R|
ni aniqlang
.
17. 
A 
= {
a
, 
b
, 
c
}; 
B 
= {
b
, 
c
, 
d
, 
e
}to‘plamalar berilgan. Agar,
P
=
A
∩
B
; 
Q
=
A
U
B 
bo‘lsa, |
P

Q| 
ni aniqlang
.
18. 
A 
= {1, 2, 3, 4, 5}; 
B 
= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Agar 
R, a 
A 
— 
toq son;
b 
B 
munosabarni ifodalasa
,
|
a R b| 
aniqlang.
19. 
A 
= {1, 2, 3, 4, 5}; 
B 
= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Agar 
R, a 
A-
tub son, 
b 
АU
B-
toq yoki tub son
 
munosabarni ifodalasa
,
|
a R b| 
aniqlang. 
20. 
a 

A
; 
b

B
, 
A
={1,2, 3,4,5}; 
B
={3,4,5,6,7,8,9,10} bo‘lsa, 
a-b=
2 
munosabat elementi bo‘ladigan barcha juftliklar nomerini ko‘rsating. 
21.
a 

A
; 
b

B
, 
A 
= {1, 2, 3, 4, 5}; 
B 
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
bo‘lsa,
2
a 
– 
b = 
0 munosabat elementi bo‘ladigan barcha juftliklar nomerini 
ko‘rsating. 
22. 
A 
o‘nlik raqamlar to‘plami. 
R–
ikki xonali o‘nlik sonlar bo‘lib, 
x 
> 
y
; 
x
, 
y

A
; munosabat bo‘lib. bunda, 
x-
katta razryad raqami, 
y
kichik 
razryad raqami. |
R| 
ni aniqlang.