1-§. To‘plamlar va ular ustida amallar

o‘zaro 
kesishmaydigan
, kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlar esa 
o‘zaro
 
kesishadigan to‘plamlar
 deb ataladi. 
1.2-misol.
{ , , }
A
a b c

, 
{ , , , }
B
a b c d

, 
{ , , }
C
e f k

bo‗lsa, u holda 
{ , , }
D
A
B
a b c


, 
D
C
 
, 
A
C
 
, 
B
C
 
, 
{ , , }
D
B
a b c

bo‗ladi.
1.6-ta’rif. 
Ixtiyoriy A va B to‘plamlar berilgan 
bo‘lsin. A to‘plamning B to‘plamda bo‘lmagan barcha 
elementlaridan tuziladigan to‘plamni hosil qilish A
 
to‘plamdan 
B
to‘plamni
 
ayirish
deb, tuzilgan to‘plam 
esa, shu 
A va B
to‘plamlarning
 
ayirmasi
 deb ataladi. 
1.2- shakl 

---

A
to‗plamdan 
B
to‗plamni ayirish natijasida hosil bo‗lgan 
to‗plam, ya‘ni 
A
va 
B
to‗plamlarning ayirmasi 
\
A B
yoki 
A
B

ko‗rinishida belgilanadi.
To‗plamlar ayirmasini quyidagicha ham ta‘riflash mumkin 
A
va 
B
to‗plamlarning 
ayirmasi
deb


\
:
A B
x x
A
x
B

  
to‗plamga 
aytiladi. 
1.3-shaklda 
A
va 
B
to‗plamlar doiralar ko‗rinishida, 
\
A B
to‗plam esa bo‗yab tasvirlangan. 
Ixtiyoriy 
A
va 
B
to‗plamlar uchun 
A
B
 
bo‗lsa, u holda 
\
A B
 
va 
\
B A
 
bo‗lishi ta‘rifdan bevosita kelib chiqadi. 
1.3-misol.
{ , }
A
a b

, 
{ , , }
B
a b c

, 
{ , , }
C
e f k

bo‗lsa, u holda 
\
A B
 
, 
\
{ }
B A
c

, 
\
B C
 
bo‗ladi.
1.7-ta’rif.
Faraz qilaylik, A va B to‘plamlar berilgan va 
A
B

 
bo‘lsin. Bu holda B to‘plamning A to‘plamga kirmagan barcha 
elementlaridan tashkil topgan 
\
B A to‘plam A
to‘plamning 
B
 
to‘plamgacha
 
to‘ldiruvchi to‘plami
 deb ataladi. 
A
to‗plamning 
B
to‗plamgacha to‗ldiruvchi to‗plami, odatda, 
B
A
ko‗rinishda belgilanadi. Bu yerda ―
B
A
to‗plam 
A
to‗plamni 
B
to‗plamgacha to‗ldiradi‖ yoki ―
A
to‗plamni 
B
to‗plamgacha to‗ldirish amalini qo‗llab, 
B
A
to‗plam hosil 
qilindi‖ deyish mumkin. 1.4-shaklda 
A
to‗plam kichik doira, 
B
to‗plam katta doira ko‗rinishida, 
B
A
to‗plam esa bo‗yab tasvirlangan. 
To‗plamlar ustidagi yuqorida keltirilgan birlashma, kesishma va 
to‗ldiruvchi to‗plam tushunchalari ta‘riflarini bevosita qo‗llab, 
B
A
A
B

, 
B
A
A
 
, 
\
B
A A
A

va 
\
B
B
A
A
A

tengliklarni hosil 
qilish qiyin emas. 
1.4-misol.
Barcha juft sonlar to‗plamini 
{2, 4,..., 2 ,...}
A
n

(
n

N
) deb belgilasak, 
A
to‗plamni 
N
to‗plamgacha to‗ldirish amalini qo‗llab 
{1,3,..., 2
1,...}
A
n


N
to‗plamni, ya‘ni barcha toq sonlar to‗plamini 
hosil qilamiz. Demak, barcha toq sonlar to‗plami barcha juft sonlar 
to‗plamini natural sonlar to‗plamigacha to‗ldiradi. Xuddi shunga 
o‗xshash, barcha toq sonlar to‗plamini natural sonlar to‗plamigacha 
to‗ldirish amalini qo‗llab, barcha juft sonlar to‗plamini hosil qilish 
mumkin.
Ba'zan, 
A
va 
B
to‗plamlarning 
simmetrik ayirmasi
tushunchasini 
kiritish maqsadga muvofiq bo‗ladi. 
\
A B
va 
\
B A
to‗plamlarning 
1.4- shakl 

---

birlashmasidan iborat to‗plamga 
A
va 
B
to‗plamlarning 
simmetrik 
ayirmasi
deyiladi va u odatda 
A B

ko‗rinishda belgilanadi, ya‘ni 
( \ )
( \ )
A B
A B
B A
 
. 
Bu yerda ―
A B

to‗plam 
A
to‗plamdan 
B
to‗plamni ayirib va 
B
to‗plamdan 
A
to‗plamni ayirib 
so‗ngra hosil bo‗lgan to‗plamlar birlashtirildi‖ deyish 
mumkin. 1.5-shaklda 
A
va 
B
to‗plamlarning 
simmetrik ayirmasi 
A B

bo‗yab tasvirlangan. 
1.5-misol.
1.1-misolda qaralgan
A
va 
B
to‗plamlarning simmetrik ayirmasi
 
{ }
A B
c
 
 
to‗plamdan iborat bo‗ladi. 
To‘plam buleani tushunchasi.
To‗plamlar nazariyasida bulean 
tushunchasi kiritilgan bo‗lib, u muhim tushunchalardan biri hisoblanadi.
1.8-ta’rif.
Berilgan A to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan 
tuzilgan to‘plam A
to‘plamning buleani 
( A
to‘plam uchun bulean
) 
deb ataladi. 
A
 
to‗plamning
 
buleani 2
A
ko‗rinishda belgilanadi. 
1.9-ta’rif. 
A to‘plam elementlari soniga uning quvvati deyiladi va 
A
ko’rinishida belgilanadi.
1.6-misol.
To‗rtta elementga ega 
{ , , , }
A
a b c d

to‗plam uchun
bulean o‗n oltita qism to‗plamlardan iborat bo‗ladi: 
2
{ ,{ },{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },
A
a
b
c
d
a b
a c
a d
b c
b d
c d
 
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , },{ , , , }}
a b c
a b d
a c d
b c d
a b c d
. 
Demak, 
|
| 4
A

va 
2
16
A

.
To‗plamlar algebrasida ham algebradagi munosabatlarga o‗xshash 
qoidalar qaraladi. To‗plamlar algebrasidagi munosabatlar universal 
to‗plamning va uning xos qism to‗plamlarining qanday bo‗lishidan 
qat‘iy nazar o‗z kuchini saqlaydi. Bu yerda, asosan, birlashma, 
kesishma, ayirma va to‗ldirish amallari o‗rtasidagi o‗zaro munosabatlar 
muhim hisoblanadi.
 
To‗plamlar nazariyasidagi munosabatlar, ko‗pincha, tengliklar 
ko‗rinishida namoyon bo‗ladi. Bu yerda tengliklarni isbotlashda 
hajmiylik aksiomasidan foydalangan holda quyidagicha mulohaza 
yuritish usuli ko‗p qo‗llaniladi. Agar tenglikning chap tomonidagi 
to‗plamga tegishli ixtiyoriy element u‘ning o‗ng tomonidagi to‗plamda 
ham topilib va, aksincha, tenglikning o‗ng tomonidagi to‗plamga tegishli 
ixtiyoriy element uning chap tomonidagi to‗plamda ham bor bo‗lsa, u 
holda bu tenglik to‗g‗ridir. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy 
A
va 
B
A 
B 
1.5-shakl 

---

to‗plamlar uchun 
A
B

tenglikni isbotlash 
A
B

va 
B
A

munosabatlarning to‗g‗riligini ko‗rsatishga tengkuchlidir. 
Odatda, to‗plamlar algebrasidagi ― ‖, ― ‖ va ― ‖ belgilar bilan 
ifodalanuvchi birlashma, kesishma va ayirma amallari, bo‗sh ( ) va 
universal ( ) top‘lamlar hamda xos ( ) va xosmas ( ) qism to‗plamlar, 
mos ravishda, sonlar algebrasidagi ―+‖, ― ‖ va ―–‖ belgilar bilan 
ifodalanuvchi qo‗shish, ko‗paytirish va ayirish amallari, nol (0) va bir 
(1) sonlar hamda katta emas ( ) va kichik ( ) munosabatlari bilan 
qiyoslanadi.
 
To‗plamlar ustida munosabatlarni ifodalovchi asosiy tengliklarni 
qarab chiqamiz. 
Universal to‗plam va uning ixtiyoriy , va qism to‗plamlari
uchun quyidagi tengliklar o‗rinlidir: 
1. 
(
Nolning xossalari
)
. 
A
A
 
, 
, 
, 
. 
2. 
(
Birning xossalari
)
. 
A
A

U
, 
, 
, 
. 
3. 
(
Idempotentlik qonuni
)
. 
, 
. 
4. 
(
Nol va birning bog‘liqligi xossasi
)
. 
, 
. 
5. 
(
Involyutivlik qonuni
)
. 
.
6 . (birlashmaga nisbatan kommutativlik qonuni). 
.
7 .
(birlashmaga 
nisbatan 
assosiativlik 
qonuni).
.
8. (kesishmaga nisbatan kommutativlik qonuni).
.
9 .
(kesishmaga 
nisbatan 
assosiativlik 
qonuni).
.
1 0 . (birlashmaga nisbatan distributivlik qonuni 
.
1 1 . (kesishmaga nisbatan distributivlik qonuni).
.
12. 
.
13. 
 (12 va 13 tengliklar 
de Morgan qonunlari
 deb 
ataladi) .
14.
(
)
A
A
B
A

.
1 5 .
 
(14 va 15 tengliklar 
yutilish qonunlari
deb 
ataladi)
. 


\

U





U
A B
C
A
A







A



A

A
A


U
U
U


A
U
U

A

A
A
A


A
A
A


U




U
A
A

A
B
B
A



)
(
)
(
C
B
A
C
B
A





A
B
B
A



)
(
)
(
C
B
A
C
B
A





)
(
)
(
)
(
C
А
B
А
C
B
А






)
(
)
(
)
(
C
А
B
А
C
B
А






B
A
B
A



B
A
B
A



A
B
A
A

)
(



---

Yuqorida keltirilgan tengliklarni tahlil qilinganda ularning ba‘zi 
xususiyatlarini payqash mumkin. Masalan, 10- va 11-, 12- va 13- hamda 
14- va 15- tengliklarning biri ikkinchisidan 
va 
belgilarni o‗zaro 
almashtirish yordamida hosil qilinishi mumkin. Xuddi shunday, nolning 
xossalari bilan birning xossalari to‗g‗risida ham quyidagilarni aytish 
mumkin: bu xossalarni ifodalovchi tengliklarning biri ikkinchisidan 
va 
belgilarni o‗zaro almashtirish hamda 

va 
U
belgilarni o‗zaro 
almashtirish natijasida kelib chiqadi. 
To‗plamlar algebrasida agar biror tenglikdan shu tenglikdagi (bor 
bo‗lsa) 
belgisini 
belgisiga, 
ni 
ga, 

ni