Endi ixtiyoriy ikkita va koordinat sistemalari (egri chiziqli) koordinatalarini almashtirish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik, bu ikki sistema orasida uzluksiz, o‘zaro bir qiymatli moslik
( 1, 2, 3), (1.8) mavjud bo‘lsin. Bu funksiya (moslik)ni 1, 2, 3 lar bo‘yicha defferensiallaymiz (1.9)
yuqorida indekslarga doir keltirilgan mulohazalarga asosan (1.9) ni (1.10)ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda j-gung indeks. Agar (1.11)deb belgilab olsak, (1.9) ifodaga ko‘ra miqdorlar uchinchi tartibli matritsani tashkil etishlarini ko‘ramiz .
yoki (1.19) (1.20) Koordinatalar sistemalari almashtirilganda xuddi bazislariga o’xshash (1.19) formula bilan almashtiriluvchi kattaliklar kovariant kattaliklar , (1.20) formulalar bilan almashtiriluvchi kattaliklar kontravariant kattaliklar deyiladi.
6.Vektorning va tenzorning ta’riflari (diad, poliad, tenzor rangi).
Xuddi ga o‘xshash bazis vektorlari orqali kabi tasvirlanuvchi va komponentalari formulalar bilan almashtiriluvchi hamda koordinatalarni almashtirishga nisbatan invariant (1.21) ob‘yekt vektor deyiladi. Chiziqli koordinatalar sistemasida tenzorning ta’rifini berish uchun bundan keyin bizga vektorlarining diad ko‘paytmalari tushunchasi bilan tanishish zarur bo‘ladi (diad – ikki vektor ko‘paytmasi, poliad - ko‘p vektorlar ko‘paytmasi demakdir). Bazis vektorlarining quyidagi diad ko’paytmalarini kiritamiz
va (1.22)ob‘yektni qaraymiz. Bu yerdagi sonlar T ning bazisdagi komponentalari deyiladi. Bazis vektorlarining diad ko‘paytmalari chiziqli bog‘lanmaganlar - invariant ob‘yekt ikkinchi rang tenzor deyiladi. Tenzorning rangi deb uning komponentalarining indekslari soniga aytiladi.
