10-11 .Tenzorning indekslarini ko‘tarish va tushirish.Tenzorni rangini pasaytirish.(metriktenzor,indeks).Masalan, Bu yerda T tenzor komponentalarining indekslari ko‘tarildi va yana qisman tushirildi. Fundamental metrik tenzor yordamida bajarilgan yuqoridagi amal indekslarni ko‘tarish va tushirish amali deyiladi.Tenzorlarning ranglarini pasaytirish ham mumkin. Lekin bu amal faqat aralash komponentali tenzorlar uchungina o‘rinlidir. Ushbu amal bilan xususiy misolda tanishamiz. Faraz qilaylik, aralash komponentali uchinchi rang tenzor berilgan bo‘lsin. Bu tenzorning hamma komponentalari ichidan faqat bo’lganlarini tanlab olib, ularning yig‘indisini qaraymiz: Ko‘rinib turibdiki bu yig‘indi faqat k indeksgagina bog‘liq, chunki -«gung» indeksdir. yig‘indi komponentalar ustida va indekslar bo‘yicha tenzorning rangini pasaytirish amali natijasidir. Bunday amalni bajarish natijasida tenzorning rangi birlikka kamayadi. Demak,
tenzorining rangi birga teng. Agar tenzor o‘zining faqat konrtavariant yoki faqat kovariant komponentalari bilan berilgan bo‘lsa, uning rangini pasaytirish g fundamemtal metrik tenzor yordamida bajariladi: demak, ya’ni bundan keyin tenzorning rangini pasaytirish uchun uning komponentasini, avvalo, fundamental metrik tenzor yordamida aralash holga keltirish va shundan keyin rangini pasaytirish mumkin.
12. Tenzorning skalyar invariantlari (birinchi invariant, tenzor sirti, bosh o’qlar). ko‘rinib turibdiki bunday amal natijasida songa (skalyarga) ega bo‘ldik. Ma’lumki, skalyar miqdorlar koordinat sistemasining tanlanishiga bog‘liq emas. Demak, miqdor tenzorning invariantidan iboratdir va uni ikkinchi rang tenzorning birinchi invariant deb ataymiz. Quyidagi ifodalar invariantlarni tashkil qilishini tekshirish qiyin emas. Shunday qilib, ikkinchi rang tenzorning uchta invarianti mavjud (1.43) . Ushbu ifoda invariant bo‘lganligidan (1.44 )Belgilangan O nuqtaning cheksiz kichik atrofida C ning ma’lum qiymati va larning O nuqtada olingan qiymatlarida (1.44)- ikkinchi tartibli sirt tenglamasidir. Bu sirt tenzor sirti deyiladi ikkinchi rang simmetrik tenzorning faqat uchta kooponentalari noldan farqli bo‘ladi. Bunday koordinat o‘qlari tenzorning bosh o‘qlari deyiladi.
