1. Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari. Funksional qator va uning yig’indisi

2-teorema (Koshi teoremasi). funksional ketma-ketlik to’plamda limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun son olinganda ham shunday topilib, va da
,
Ya’ni
va da
(4)
Bo’lishi zarur va yetarli.
◄ zarurligi. Aytaylik, to’plamda funksional ketma-ketlik limit funksiya ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:

Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra
bo’ladi. Xususan, va da

Tengsizliklar bajarilib, ulardan


Bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (4) shart o’rinli.
Yetarliligi. funksional ketma-ketlik uchun (4) shart bajarilsin. Uni quyidagicha yozamiz:
da
(5)
Bo’ladi.
Ravshanki, tayin da sonlar ketma-ketligi uchun (5) shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli
(6)
Limit mavjud.
modomiki, har bir da (6) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval ayganimizdek, to’plamda aniqlangan

Funksiya hosil bo’ladi uni bilan belgilaymiz. Bu funksiya funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi bo’ladi:
.
Endi (5) tengsizlikda, va larni tayinlab da limitga o’tamiz. Natijada

Hosil bo’ladi. Bu

Bo’lishini bildiradi. ►
aytaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, funksiya uning limit funksiyasi bo’lsin:
.
agar

Bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda funksiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.
4⁰. Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi. Aytaylik,

Funksional qator to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni qatorning yaqinlashish to’plami ) bo’lib, yig’indisi bo’lsin:
(7)
Bunda, . (7) munosabat

Bo’lishini anglatadi.
7-ta’rif. Agar to’plamda

Ya’ni

Bo’lsa, funksional qator to’plamda tekis yaqinla-shuvchi deyiladi.
Agar
,
Deyilsa, funksional qatorning to’plamda tekis yaqinlashuvchiligini quyidagicha
,
Ya’ni

Ko’rinishda ta’riflash mumkin bo’ladi.
Shunday qilib

Funksional qator, uning qismiy yig’indisi

Va yig’indisi uchun

Bo’lsa, funksional qator da yaqinlashuvchi,

Bo’lsa, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.